Triangle (त्रिभुज) Top 25 Questions for SSC, Bank, Railway & Police Exams

Triangle (त्रिभुज): Top 31 Standard Questions with Detailed Solutions

पिछली मास्टरक्लास में हमने त्रिभुज के सभी नियमों और थ्योरम्स को पढ़ा था। आज के इस स्पेशल प्रैक्टिस सेट में हम SSC CGL, Bank PO/Clerk, UPSC, Railway, Police, REET, Patwar, LDC, और ASI जैसी परीक्षाओं में बार-बार पूछे जाने वाले Top 31 Standard Questions को उनके विस्तृत हल (Solutions) और जादुई ट्रिक्स के साथ सॉल्व करेंगे।

🎯 इस प्रैक्टिस सेट की खासियत:

• बुनियादी नियमों और फॉर्मूलों से लेकर ग्रेजुएशन और बैंकिंग लेवल तक के प्रश्न शामिल।
• प्रश्नों का स्तर परीक्षा के बदलते पैटर्न के बिल्कुल अनुकूल।
• बिना समय गंवाए उत्तर निकालने के लिए 'Triplets' और 'Direct Formula' ट्रिक्स का उपयोग।

PART 1: Core Geometry & Mensuration Questions (SSC, Railway, PSC, Police)

Q1. किसी त्रिभुज की दो भुजाएं 7 cm और 11 cm हैं, तो तीसरी भुजा 'x' का मान निम्नलिखित में से क्या हो सकता है? (LDC / Police Special)
(A) x < 4
(B) 4 < x < 18
(C) x > 18
(D) x = 4 या x = 18

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
नियम: त्रिभुज की तीसरी भुजा हमेशा दो भुजाओं के अंतर से बड़ी और उनके योग से छोटी होती है।
• अंतर: 11 - 7 = 4 cm
• योग: 11 + 7 = 18 cm
अतः, 4 < x < 18

Q2. ΔABC में, भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है। यदि बाह्य कोण ∠ACD = 125° और ∠A = 55° हो, तो ∠B का मान ज्ञात करें? (Railway / Patwar)
(A) 55°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (C)
नियम: बाह्य कोण = दो विपरीत आंतरिक कोणों का योग (Exterior Angle Property)
• ∠ACD = ∠A + ∠B
• 125° = 55° + ∠B
• ∠B = 125° - 55° = 70°

Q3. एक त्रिभुजाकार मैदान का परिमाप (Perimeter) 36 m है और इसकी भुजाएं 9 m, 12 m और 15 m हैं। मैदान का क्षेत्रफल (Area) क्या होगा? (Patwar / LDC)
(A) 108 m²
(B) 54 m²
(C) 90 m²
(D) 64 m²

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
शॉर्ट ट्रिक: भुजाओं 9, 12, 15 को ध्यान से देखें। यह प्रसिद्ध Pythagorean Triplet (3:4:5) का 3 गुना है, अर्थात यह एक समकोण त्रिभुज है जहाँ कर्ण = 15 m, आधार = 9 m और लंब = 12 m है।
• Area = (1/2) × Base × Height = (1/2) × 9 × 12 = 54 m²

Q4. एक समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) का क्षेत्रफल 16√3 cm² है। इसकी ऊँचाई (Height) ज्ञात कीजिये? (SSC CGL / ASI)
(A) 4 cm
(B) 4√3 cm
(C) 8 cm
(D) 2√3 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
• समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × a² = 16√3 ⇒ a² = 64 ⇒ भुजा (a) = 8 cm
• ऊँचाई (h) का फार्मूला = (√3/2) × a = (√3/2) × 8 = 4√3 cm

Q5. एक समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) की समान भुजाएं 10 cm प्रत्येक और असमान भुजा (Base) 16 cm है। इसका क्षेत्रफल कितना होगा? (Police / Patwar)
(A) 48 cm²
(B) 96 cm²
(C) 32 cm²
(D) 60 cm²

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (A)
स्मार्ट एप्रोच: यदि हम शीर्ष से आधार पर लंब डालेंगे, तो वह आधार 16 cm को दो बराबर भागों (8 cm और 8 cm) में बांट देगा। अब यहाँ एक समकोण त्रिभुज बनेगा जिसका कर्ण = 10 cm और आधार = 8 cm है।
• ट्रिपलेट (6, 8, 10) से ऊँचाई = 6 cm आ जाएगी।
• Area = (1/2) × Base × Height = (1/2) × 16 × 6 = 48 cm²

Q6. ΔABC में, AD एक माध्यिका (Median) है और G इसका केंद्रक (Centroid) है। यदि AG = 8 cm हो, तो माध्यिका AD की कुल लंबाई क्या होगी? (SSC CPO / Railway)
(A) 10 cm
(B) 12 cm
(C) 14 cm
(D) 16 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
नियम: केंद्रक (Centroid) माध्यिका को हमेशा 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है (AG : GD = 2 : 1)।
• यदि 2 यूनिट = 8 cm, तो 1 यूनिट (GD) = 4 cm होगा।
• कुल लंबाई AD = AG + GD = 8 + 4 = 12 cm

Q7. ΔABC में, ∠A = 70° है। यदि आंतरिक कोणों के समद्विभाजक (Angle Bisectors) बिंदु I पर मिलते हैं (I अंतःकेंद्र है), तो ∠BIC का मान क्या होगा? (SSC CGL / ASI)
(A) 110°
(B) 125°
(C) 135°
(D) 145°

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
सटीक सूत्र: Incenter पर बना कोण: ∠BIC = 90° + (∠A / 2)
• ∠BIC = 90° + (70° / 2) = 90° + 35° = 125°

Q8. यदि O, ΔABC का परिकेंद्र (Circumcenter) है और ∠BAC = 50° है, तो ∠BOC का मान ज्ञात करें? (Railway / Police)
(A) 50°
(B) 100°
(C) 130°
(D) 25°

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
नियम: परिकेंद्र पर बना कोण शीर्ष कोण का दोगुना होता है (∠BOC = 2 × ∠A)।
• ∠BOC = 2 × 50° = 100°

Q9. ΔABC में, H लंबकेंद्र (Orthocenter) है। यदि ∠BHC = 110° हो, तो शीर्ष कोण ∠A का मान what होगा? (SSC CHSL)
(A) 70°
(B) 110°
(C) 90°
(D) 55°

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (A)
नियम: लंबकेंद्र पर बना कोण और शीर्ष कोण संपूरक होते हैं (∠BHC = 180° - ∠A)।
• 110° = 180° - ∠A ⇒ ∠A = 180° - 110° = 70°

Q10. दो समरूप त्रिभुजों ΔABC और ΔPQR के क्षेत्रफलों का अनुपात क्रमशः 4 : 9 है। यदि AB = 6 cm हो, तो संगत भुजा PQ की लंबाई क्या होगी? (SSC CGL / Patwar)
(A) 9 cm
(B) 13.5 cm
(C) 12 cm
(D) 7.5 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (A)
नियम: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्ग के बराबर होता है।
• (Area of ΔABC / Area of ΔPQR) = (AB / PQ)²
• 4 / 9 = (6 / PQ)² ⇒ दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: 2 / 3 = 6 / PQ
• 2 × PQ = 18 ⇒ PQ = 9 cm

Q11. ΔABC में, DE || BC है, जहाँ D, AB पर और E, AC पर स्थित है। यदि AD = 3 cm, DB = 5 cm और AE = 4.5 cm हो, तो EC की लंबाई ज्ञात करें? (Railway / LDC)
(A) 6 cm
(B) 7.5 cm
(C) 8 cm
(D) 5.5 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
नियम: थ्योरम के अनुसार (BPT), AD / DB = AE / EC
• 3 / 5 = 4.5 / EC
• 3 × EC = 5 × 4.5 = 22.5 ⇒ EC = 22.5 / 3 = 7.5 cm

Q12. एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 30° है और इसका कर्ण (Hypotenuse) 12 cm है। 30° के सामने वाली भुजा की लंबाई क्या होगी? (UPSC CSAT / Patwar)
(A) 6√3 cm
(B) 6 cm
(C) 4 cm
(D) 8 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
शॉर्ट ट्रिक: 30°-60°-90° वाले विशेष अनुपात के नियमानुसार, भुजाओं का अनुपात 1 : √3 : 2 होता है (जहाँ 2 यूनिट कर्ण है)।
• यदि 2 यूनिट = 12 cm, तो 1 यूनिट (30° के सामने की भुजा) = 6 cm होगी।

Q13. एक समकोण त्रिभुज की भुजाएं 6 cm, 8 cm और 10 cm हैं। इसके अंतःवृत्त की त्रिज्या (Inradius) कितनी होगी? (SSC CGL / ASI)
(A) 3 cm
(B) 2 cm
(C) 5 cm
(D) 1.5 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
शॉर्ट ट्रिक (केवल समकोण त्रिभुज के लिए): Inradius (r) = (P + B - H) / 2
• यहाँ लंब (P) = 6, आधार (B) = 8, कर्ण (H) = 10
• r = (6 + 8 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2 cm

Q14. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएं 4 cm और 10 cm हैं और तीसरी भुजा एक पूर्णांक (Integer) है, तो इस प्रकार के कितने विभिन्न त्रिभुज संभव हैं? (UPSC CSAT / SSC CGL)
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
मानक नियम (Triangle Inequality): मान लें तीसरी भुजा 'x' है। नियमानुसार:
• अंतर (10 - 4) < x < योग (10 + 4) ⇒ 6 < x < 14
• अतः x के संभावित पूर्णांक मान: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 हैं।
• इन मानों की कुल संख्या गिनने पर = 7 विभिन्न त्रिभुज संभव हैं.

Q15. किसी त्रिभुज का अर्ध-परिमाप (Semi-perimeter) 18 cm है और इसके अंतःवृत्त की त्रिज्या (Inradius) 4 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area) कितना होगा? (Patwar / LDC)
(A) 72 cm²
(B) 36 cm²
(C) 54 cm²
(D) 48 cm²

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (A)
सटीक सूत्र: Area (Δ) = r × s (Inradius × Semi-perimeter)
• Area = 4 × 18 = 72 cm²

PART 2: Graduation Level Advanced Questions (SSC CGL, CDS, State PSC)

Q16. ΔABC में, यदि ∠A = 30°, ∠B = 45° और भुजा a = 10 cm हो, तो भुजा 'b' की लंबाई ज्ञात करें? (SSC Advance / State PSC)
(A) 10√2 cm
(B) 5√2 cm
(C) 10√3 cm
(D) 20 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (A)
नियम (Sine Rule): a / sin A = b / sin B
• 10 / sin 30° = b / sin 45°
• 10 / (1/2) = b / (1/√2) ⇒ 20 = b × √2
• b = 20 / √2 = 10√2 cm

Q17. ΔABC में, ∠A = 45° und ∠B = 60° है। भुजा 'a' और 'b' का अनुपात (a : b) क्या होगा? (State PSC / SSC Advance)
(A) √2 : √3
(B) √3 : √2
(C) 1 : √2
(D) √2 : 1

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (A)
नियम: Sine Rule के अनुसार, a / b = sin A / sin B
• a / b = sin 45° / sin 60° = (1/√2) / (√3/2) = 2 / (√2√3) = √2 / √3
• अतः सही अनुपात = √2 : √3

Q18. ΔABC में, b = 5 cm, c = 8 cm और ∠A = 60° है। भुजा 'a' की लंबाई ज्ञात कीजिये? (SSC CGL Advance)
(A) 6 cm
(B) 7 cm
(C) 9 cm
(D) √39 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
नियम (Cosine Rule): cos A = (b² + c² - a²) / 2bc
• cos 60° = (5² + 8² - a²) / (2 × 5 × 8)
• 1/2 = (25 + 64 - a²) / 80 ⇒ 40 = 89 - a²
• a² = 89 - 40 = 49 ⇒ a = 7 cm

Q19. ΔABC में, AD एक माध्यिका (Median) है। यदि AB = 13 cm, AC = 15 cm और BC = 14 cm हो, तो माध्यिका AD की लंबाई कितनी होगी? (SSC CGL / CDS Special)
(A) 9 cm
(B) 10 cm
(C) 11 cm
(D) 12 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (D)
नियम (Apollonius Theorem): AB² + AC² = 2(AD² + BD²)
• यहाँ BD = BC / 2 = 7 cm होगा।
• 13² + 15² = 2(AD² + 7²)
• 169 + 225 = 2(AD² + 49) ⇒ 394 = 2(AD² + 49)
• 197 = AD² + 49 ⇒ AD² = 148 ⇒ AD ≈ 12 cm (मानक निकटतम पूर्णांक मान)

Q20. ΔABC में तीन चेवियन (Cevians) AD, BE और CF एक ही बिंदु पर कटती हैं। यदि AF/FB = 2/3 और BD/DC = 5/4 हो, तो अनुपात CE/EA का मान क्या होगा? (Graduation Level / Advanced SSC)
(A) 5/6
(B) 6/5
(C) 3/4
(D) 4/3

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
नियम (Ceva's Theorem): (AF/FB) × (BD/DC) × (CE/EA) = 1
• (2/3) × (5/4) × (CE/EA) = 1
• (10/12) × (CE/EA) = 1 ⇒ (5/6) × (CE/EA) = 1
• CE/EA = 6/5

PART 3: Bank Exam Special & Classic Application Questions

Q21. एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 5 cm, 12 cm और 13 cm हैं। इसके परिवृत्त की त्रिज्या (Circumradius - R) क्या होगी? (Police / Patwar / LDC)
(A) 5 cm
(B) 6 cm
(C) 6.5 cm
(D) 12 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (C)
शॉर्ट ट्रिक: समकोण त्रिभुज में परिकेंद्र की त्रिज्या हमेशा कर्ण (Hypotenuse) की आधी होती है।
• R = Hypotenuse / 2 = 13 / 2 = 6.5 cm

Q22. दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 3 : 5 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए? (Railway / Bank PO)
(A) 3 : 5
(B) 9 : 25
(C) 6 : 10
(D) 27 : 125

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
हल: Area Ratio = (Side Ratio)² = (3:5)² = 9:25

Q23. एक त्रिभुज का आधार 20 m तथा ऊँचाई 12 m है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (IBPS Clerk Special)
(A) 240 m²
(B) 120 m²
(C) 60 m²
(D) 100 m²

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
हल: Area = (1/2) × Base × Height = (1/2) × 20 × 12 = 120 m²

Q24. एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 cm, 14 cm तथा 15 cm हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (SBI Clerk / PO / Patwar)
(A) 42 cm²
(B) 84 cm²
(C) 96 cm²
(D) 120 cm²

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
हल:
• s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
• Area = √[21 × (21-13) × (21-14) × (21-15)] = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84 cm²

Q25. एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 cm, 14 cm तथा 15 cm हैं। इसकी अंतःवृत्त की त्रिज्या (Inradius) ज्ञात कीजिए? (IBPS PO Special)
(A) 2 cm
(B) 3 cm
(C) 4 cm
(D) 5 cm

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (C)
हल: सूत्र r = Δ / s के अनुसार (जहाँ Δ = क्षेत्रफल, s = अर्ध-परिमाप)
• पिछले प्रश्न से, Δ = 84 cm² और s = 21 cm
• r = 84 / 21 = 4 cm

Q26. एक सीढी दीवार से टिकाई गई है। सीढ़ी की लंबाई 13 m तथा दीवार से दूरी 5 m है। दीवार पर सीढ़ी कितनी ऊँचाई तक पहुँचेगी? (Bank Exams Arithmetic)
(A) 10 m
(B) 11 m
(C) 12 m
(D) 15 m

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (C)
हल: Height = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 m

Q27. यदि किसी त्रिभुज का एक कोण अन्य दो समान कोणों के योग के बराबर है, तो वह त्रिभुज निश्चित रूप से कौन सा त्रिभुज होगा? (Police / LDC)
(A) समबाहु
(B) समकोण
(C) अधिककोण
(D) न्यूनकोण

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
हल: मान लें ∠A = ∠B + ∠C। हम जानते हैं कि ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠A + ∠A = 180° ⇒ 2∠A = 180° ⇒ ∠A = 90° (समकोण त्रिभुज)。

Q28. एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज (Right Isosceles Triangle) का कर्ण 4√2 cm है, इसका क्षेत्रफल क्या होगा? (SSC CHSL)
(A) 8 cm²
(B) 16 cm²
(C) 4 cm²
(D) 12 cm²

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (A)
हल: यदि समान भुजाएं 'a' हों, तो कर्ण = a√2 होता है। यहाँ a√2 = 4√2 ⇒ a = 4 cm।
• Area = (1/2) × a² = (1/2) × 4 × 4 = 8 cm²

Q29. ΔABC में, ∠B = 90° है। यदि AD और CE दो माध्यिकाएं (Medians) हैं, तो 4(AD² + CE²) का मान किसके बराबर होगा? (SSC CGL Tier-2 Hot Topic)
(A) 3 AC²
(B) 4 AC²
(C) 5 AC²
(D) 2 AC²

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (C)
सीधा थ्योरम नियम: समकोण त्रिभुज में माध्यिकाओं का यह मानक संबंध हमेशा लागू होता है: 4(AD² + CE²) = 5 AC² (जहाँ AC कर्ण है)।

Q30. यदि किसी त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 4 : 5 : 6 है, तो यह किस प्रकार का त्रिभुज है? (UPSC CSAT / Patwar)
(A) समकोण त्रिभुज
(B) अधिककोण त्रिभुज
(C) न्यूनकोण त्रिभुज
(D) समद्विबाहु त्रिभुज

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (C)
जादूई नियम: सबसे बड़ी भुजा का वर्ग (c²) और अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग (a² + b²) की तुलना करें।
• c² = 6² = 36
• a² + b² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
• यहाँ 36 < 41 (c² < a² + b²), अतः यह एक न्यूनकोण त्रिभुज (Acute Angled Triangle) है।

Q31. यदि किसी त्रिभुज में दो कोण 35° और 65° हैं, तो तीसरा कोण ज्ञात करें? (REET / Patwar / LDC Special)
(A) 70°
(B) 80°
(C) 90°
(D) 100°

✔ उत्तर और व्याख्या देखें

सही उत्तर: (B)
नियम: त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है।
• पहला कोण + दूसरा कोण + तीसरा कोण = 180°
• 35° + 65° + तीसरा कोण = 180°
• 100° + तीसरा कोण = 180° ⇒ तीसरा कोण = 180° - 100° = 80°

💡 स्पेशल बोनस टिप:

एग्जाम हॉल में ज्यामिति के सवाल हल करते समय हमेशा सबसे पहले Pythagorean Triplets (3:4:5, 5:12:13, 8:15:17) को चेक करें। 80% सवाल इन ट्रिक्स से बिना पेन उठाए हल हो जाते हैं!