NCERT Solutions for Class 8 Math Chapter 3 Understanding of Quadrilaterals | कक्षा 8 गणित अध्याय 3 चतुर्भुजों को समझना

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 8 MATH

कक्षा - 8

विषय - गणित

अध्याय - 3

चतुर्भुजों को समझना

Class - 8

Subject - Math

Lesson - 3

Understanding of Quadrilaterals

प्रश्नावली 3.1

1. यहाँ पर कुछ आकृतियाँ दी गई हैं :

प्रत्येक वर्गीकरण निम्नलिखित आधार पर कीजिए :

(a) साधारण वक्र	(b) साधारण बंद वक्र	(c) बहुभुज
(d) उत्तल बहुभुज	(e) अवतल बहुभुज

हल : (a) साधारण वक्र - 1, 2, 5, 7

(b) साधारण बंद वक्र - 1, 2, 5, 6, 7

(c) बहुभुज - 1, 2

(d) उत्तल बहुभुज - 2 

(e) अवतल बहुभुज - 1, 4

2. निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण हैं ?

(a) एक उत्तल चतुर्भुज            (b) एक समषडभुज            (c) एक त्रिभुज

हल : (a) एक उत्तल चतुर्भुज - 2

(b) एक समषडभुज - 9

(c) एक त्रिभुज - 0

3. उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों  योगफल क्या हैं ? यदि चतुर्भुज, उत्तल न हो तो क्या यह गुण लागू होगा ? (एक चतुर्भुज बनाइए उत्तल न हो और प्रयास कीजिए।) 

हल : उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल 360° होगा। 

यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो भी कोणों के मापों का योगफल 360° ही होगा। 

उपरोक्त चतुर्भुज उत्तल नहीं है। इस चतुर्भुज को दो त्रिभुज में बाँटा गया है। प्रत्येक त्रिभुज का मान 180° होगा। अतः इस चतुर्भुज के कोणों का योगफल भी 360° होगा। 

4. तालिका की जाँच कीजिए : (प्रत्येक आकृति को त्रिभुजों में बाँटिए और कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए)

आकृति
भुजा	3	4	5	6
कोणों का योगफल	180°	2 × 180° = (4 - 2) × 180°	3 × 180° = (5 - 2) × 180°	4 × 180° = (6 - 2) × 180°

एक बहुभुज के कोणों के योग के बारे में आप क्या कह सकते है जिसकी भुजाओं की संख्या निम्नलिखित हो ?

(a) 7                (b) 8                (c) 10                (d) n

हल :

(a) भुजाओं की संख्या (n) = 7

किसी बहुभुज के सभी अन्तः कोणों का योगफल निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात कर सकते है = (n - 2) × 180°

अतः n = 7 रखने पर -

= (7 - 2) × 180

= 5 × 180

= 900°

(b) भुजाओं की संख्या (n) = 8

बहुभुज के सभी अन्तः कोणों का योगफल = (n - 2) × 180°

अतः n = 8 रखने पर -

= (8 - 2) × 180

= 6 × 180

= 1080°

(c) भुजाओं की संख्या (n) = 10

बहुभुज के सभी अन्तः कोणों का योगफल = (n - 2) × 180°

अतः n = 10 रखने पर -

= (10 - 2) × 180

= 8 × 180

= 1440°

(d) भुजाओं की संख्या (n) = n

बहुभुज के सभी अन्तः कोणों का योगफल = (n - 2) × 180°

अतः n = n रखने पर -

= (n - 2) × 180

5. सम बहुभुज क्या है ? सम बहुभुज किसे कहते है ?

एक सम बहुभुज का नाम बताइए जिसमें 

(i) 3 भुजाएँ                (ii) 4 भुजाएँ                (iii) 6 भुजाएँ हों। 

हल : सम बहुभुज - ऐसा बहुभुज जिसकी सभी भुजाएँ एवं आंतरिक कोण का मान बराबर हो सम बहुभुज कहलाता है। 

(i) 3 भुजाएँ - ऐसा बहुभुज जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हो त्रिभुज (समबाहु) कहलाता है। 

(ii) 4 भुजाएँ - ऐसा बहुभुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हो चतुर्भुज (आयत) कहलाता है। 

(iii) 6 भुजाएँ - ऐसा बहुभुज जिसकी छः भुजाएँ बराबर हो सम षटभुज कहलाता है।

6. निम्नलिखित आकृतियों में x (कोण की माप) ज्ञात कीजिये :

(a) 

हल : चतुर्भुज के चारों कोणों  योग = 360°

अतः 50° + 130° + 120° + x = 360°

300° + x = 360°

x = 360° - 300°

x = 60°

(b) 

हल : y + z = 180° (रैखिक कोण युग्म)

90° + z = 180°

z = 180° - 90°

z = 90°

चतुर्भुज के चारों कोणों का योग = 360° 

70° + 60° + 90° + x = 360°

220° + x = 360°

x = 360° - 220°

x = 140°

(c) 

हल : 70° + y = 180° (रैखिक कोण युग्म)

y = 180° - 70°

y = 110°

60° + z = 180° (रैखिक कोण युग्म)

z = 180° - 60°

z = 120°

पंचभुज के सभी अन्तः कोणों का योग = (n - 2) × 180°

n = 5

= (5 - 2) × 180°

= 3 × 180°

= 540°

अतः 110° + 120° + x + x + 30° = 540°

260° + 2x = 540°

2x = 540° - 260°

2x = 280°

x = 280° ÷ 2

x = 140°

(d) 

हल : पंचभुज के पाँचों कोणों का योग = 540° 

अतः x + x + x + x + x = 540°

5x = 540°

x = 540° ÷ 5

x = 108°

7. (a)

x + y + z ज्ञात कीजिए। 

हल: z + 30° = 180° (रैखिक कोण युग्म)

z = 180° - 30°

z = 150°

x + 90° = 180° (रैखिक कोण युग्म)

x = 180° - 90°

x = 90°

त्रिभुज के तीनों बाह्य कोणों का योगफल = 360°

अतः 150° + 90° + y = 360°

240° + y = 360°

y = 360° - 240°

y = 120°

अतः x + y + z = 360°

(b) x + y + z + w ज्ञात कीजिए। 

हल : x + 120° = 180° (रैखिक कोण युग्म)

x = 180° - 120°

x = 60°

y + 80° = 180° (रैखिक कोण युग्म)

y = 180° - 80°

y = 100°

z + 60° = 180° (रैखिक कोण युग्म)

z = 180° - 60°

z = 120°

चतुर्भुज के चारों कोणों  योग = 360°

x + y + z + w = 360°

60° + 100° + 120° + w = 360°

280° + w = 360°

w = 360° - 280°

w = 80°

अतः x + y + z + w = 360°

प्रश्नावली 3.2

1. निम्नलिखित आकृतियों में x का मान ज्ञात कीजिए :

हल : किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग = 360°

अतः 125° + 125° + x = 360°

250° + x = 360°

x = 360° - 250°

x = 110°

(b) 

हल : पंचभुज के बाह्य कोणों का योग = 360°

अतः 70° + x + 90° + 60° + 90° = 360°

310° + x = 360°

x = 360° - 310°

x = 50°

2. एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप ज्ञात कीजिए जिसकी 

(i) 9 भुजाएँ                (ii) 15 भुजाएँ हों। 

हल : (i) 9 भुजाएँ

सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = $\frac{{360}}{n}$

n = 9

अतः सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = $\frac{{360}}{9}$

= 40°

(ii) 15 भुजाएँ हों। 

हल : सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = $\frac{{360}}{n}$

n = 15 

अतः सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = $\frac{{360}}{15}$

= 24°

3. एक सम बहुभुज की कितनी भुजाएँ होंगी यदि एक बाह्य कोण का माप 24° हो ?

हल : सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = $\frac{{360}}{n}$

24 = $\frac{{360}}{n}$

24n = 360°

n = $\frac{{360}}{24}$

n = 15

4. एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका प्रत्येक अंत: कोण 165° का हो ?

हल : सम बहुभुज का प्रत्येक अन्तः कोण = $\frac{{(n - 2) \times 180}}{n}$

165n = (n - 2) × 180°

165n = 180n - 360

165n - 180n = - 360

- 15n = - 360

n = 360/15

n = 24

5. (a) क्या ऐसा सम बहुभुज संभव है जिसके प्रत्येक बाह्य कोण का माप 22° हो ?

हल : सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = $\frac{{360}}{n}$

22 = $\frac{{360}}{n}$

22n = 360

n = $\frac{{360}}{22}$

n = 16.37

अतः ऐसा बहुभुज संभव नहीं है जिसका प्रत्येक बाह्य कोण 22° हो क्योकि यहाँ मान पूरी तरह विभाजित ने होता है। 

(b) क्या यह किसी सम बहुभुज का अंत:कोण हो सकता है ? क्यों ?

हल : सम बहुभुज का प्रत्येक अन्तः कोण = $\frac{{(n - 2) \times 180}}{n}$

22n = (n - 2) × 180

22n = 180n - 360

22n - 180n = - 360

- 158n = - 360

n = 360 ÷ 158

n = 2.27

अतः ऐसा बहुभुज संभव नहीं है जिसका प्रत्येक अंत:कोण 22° हो क्योकि यहाँ मान पूरी तरह विभाजित ने होता है।

6. (a) किसी सम बहुभुज में कम से कम कितने अंश अंत:कोण संभव है ? क्यों ?

हल : हम जानते कि सम बहुभुज कम से कम 3 भुजाओं का बनता है। अतः यह समबाहु त्रिभुज होगा, जिसका प्रत्येक कोण 60° का होगा। 

x + x + x = 180°

3x = 180

x = 180 ÷ 3

x = 60°

(b) किसी सम बहुभुज में अधिक से अधिक कितने अंश का बाह्य कोण संभव है ?

हल : सबसे कम भुजा वाला बहुभुज त्रिभुज होगा। अतः अधिकतम बाह्य कोण का मान 120° होगा। 

अतः x + x + x = 360°

3x = 360°

x = 360 ÷ 3

x = 120°