NCERT SOLUTION
कक्षा - 8
विषय - गणित
अध्याय - 14
गुणनखंड
Class - 8
Subject - Math
Lesson - 11
Factorisation
प्रश्नावली 14.1
1. दिए हुए पदों में सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x, 36 (ii) 2y, 22xy (iii) 14pq, 28p²q²
(iv) 2x, 3x², 4 (v) 6abc, 24ab², 12a²b
(vi) 16x³, -4x², 32x (vii) 10pq, 20qr, 30rp
(viii) 3x²y³, 10x³y², x²y²z
हल : (i) 12x, 36
12x = 2 × 2 × 3 × x
36 = 2 × 2 × 3 × 3
सार्व गुणनखंड = 2 × 2 × 3 = 12
(ii) 2y, 22xy
2y = 2 × y
22xy = 2 × 11 × x × y
सार्व गुणनखंड = 2
(iii) 14pq, 28p²q²
14pq = 2 × 7 × p × q
28p²q² = 2 × 2 × 7 × p × p × q × q
सार्व गुणनखंड = 2 × 7 × p × q = 14pq
(iv) 2x, 3x², 4
2x = 2 × x
3x² = 3 × x × x
4 = 2 × 2
चूँकि तीनों पदों में कोई भी उभयनिष्ठ नहीं है अतः सार्व गुणनखंड = 1
(v) 6abc, 24ab², 12a²b
6abc = 2 × 3 × a × b × c
24ab² = 2 × 2 × 2 × 3 × a × b × b
12a²b = 2 × 2 × 3 × a × a × b
सार्व गुणनखंड = 2 × 3 × b = 6b
(vi) 16x³, -4x², 32x
16x³ = 2 × 2 × 2 × 2 × x × x × x
-4x² = -2 × 2 × x × x
32x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × x
सार्व गुणनखंड = 2 × 2 × x = 4x
(vii) 10pq, 20qr, 30rp
10pq = 2 × 5 × p × q
20qr = 2 × 2 × 5 × q × r
30rp = 2 × 3 × 5 × r × p
सार्व गुणनखंड = 2 × 5 = 10
(viii) 3x²y³, 10x³y², x²y²z
3x²y³ = 3 × x × x × y × y × y
10x³y² = 2 × 5 × x × x × x y × y
x²y²z = x × x × y × y × z
सार्व गुणनखंड = x × x × y × y = x²y²
2. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए :
(i) 7x - 42 (ii) 6p - 12q (iii) 7a² + 14a
(iv) - 16z + 20z (v) 20l²m + 30alm
(vi) 5x²y - 15xy² (vii) 10a² - 15b² + 20c²
(viii) - 4a² + 4ab - 4ca (ix) x²yz + xy²z + xyz²
(x) ax²y + bxy² + cxyz
हल :
(i) 7x - 42
दोनों पदों के गुणनखंड करने पर -
7x = 7 × x
42 = 2 × 3 7
दोनों पदों में 7 सार्व गुणनखंड है
अतः 7x - 42
= (7 × x) - (7 × 2 × 3)
= 7 × [x - (2 × 3)]
= 7 (x - 6)
(ii) 6p - 12q
दोनों पदों के गुणनखंड करने पर -
6p = 2 × 3 × p
12q = 2 × 2 × 3 × q
दोनों पदों में 2 और 3 सार्व गुणनखंड है।
अतः 6p - 12q
= (2 × 3 × p) - (2 × 3 × 2 × q)
= 2 × 3 × [p - (2 × q)]
= 6 (p - 2q)
(iii) 7a² + 14a
दोनों पदों के गुणनखंड करने पर -
7a² = 7 × a × a
14a = 2 × 7 × a
दोनों पदों में 7 और a सार्व गुणनखंड है।
अतः 7a² + 14a
= (7 × a × a) + (7 × a × 2)
= 7 × a × (a + 2)
= 14 (a + 2)
(iv) - 16z + 20z²
दोनों पदों के गुणनखंड करने पर -
- 16z = - 2 × 2 × 2 × 2 × z
20z² = 2 × 2 × 5 × z × z
दोनों पदों में 2, 2 और z सार्व गुणनखंड है।
अतः - 16z + 20z²
= (- 2 × 2 × 2 × 2 × z) + (2 × 2 × z × 5 × z)
= 2 × 2 × z × [(- 2 × 2) + (5 × z)]
= 4z (-4 + 5z)
(v) 20l²m + 30alm
दोनों पदों के गुणनखंड करने पर -
20l²m = 2 × 2 × 5 × l × l × m
30alm = 2 × 3 × 5 × a × l × m
दोनों पदों में 2, 5, l और m सार्व गुणनखंड है।
अतः 20l²m + 30alm
= (2 × 5 × l × m × 2 × l) + ((2 × 5 × l × m × a)
= 2 × 5 × l × m × [(2 × l) + a]
= 10lm (2l + a)
(vi) 5x²y - 15xy²
दोनों पदों के गुणनखंड करने पर -
5x²y = 5 × x × x × y
15xy² = 3 × 5 × x × y × y
दोनों पदों में 5, x और y सार्व गुणनखंड है।
अतः 5x²y - 15xy²
= (5 × x × y × x) - (5 × x × y × 3 × y)
= 5 × x × y × [x - (3 × y)]
= 5xy (x - 3y)
(vii) 10a² - 15b² + 20c²
तीनों पदों के गुणनखंड करने पर -
10a² = 2 × 5 × a × a
15b² = 3 × 5 × b × b
20c² = 2 × 2 × 5 × c × c
तीनों पदों में 5 सार्व गुणनखंड है।
अतः 10a² - 15b² + 20c²
= (5 × 2 × a × a) - (5 × 3 × b × b) + (5 × 2 × 2 × c × c)
= 5 × [(2 × a × a) - (3 × b × b) + (2 × 2 × c × c)]
= 5 (2a² - 3b² + 4c²)
(viii) - 4a² + 4ab - 4ca
तीनों पदों के गुणनखंड करने पर -
- 4a² = - 2 × 2 × a × a
4ab = 2 × 2 × a × b
- 4ca = 2 × 2 × c × a
तीनों पदों में 2, 2 और a सार्व गुणनखंड है।
अतः - 4a2 + 4ab - 4ca
= - (2 × 2 × a × a) + (2 × 2 × a × b) - (2 × 2 × a × c)
= 2 × 2 × a × (- a + b - c)
= 4a (-a + b + c)
(ix) x²yz + xy²z + xyz²
तीनों पदों के गुणनखंड करने पर -
x²yz = x × x × y × z
xy²z = x × y × y × z
xyz² = x × y × z × z
तीनों पदों में x, y और z सार्व गुणनखंड है।
अतः x²yz + xy²z + xyz²
= (x × y × z × x) + (x × y × z × y) + (x × y × z × z)
= x × y × z × (x + y + z)
= xyz (x + y + z)
(x) ax²y + bxy² + cxyz
तीनों पदों के गुणनखंड करने पर -
ax²yz = a × x × x × y
bxy² = b × x × y × y
cxyz = c × x × y × z
तीनों पदों में x और y सार्व गुणनखंड है।
अतः ax²y + bxy² + cxyz
= (x × y × a × x) + (x × y × b × y) + (x × y × c × z)
= x × y × [(a × x) + (b × y) + (c × z)]
= xy (ax + by + cz)
3. गुणनखंड कीजिए :
(i) x² + xy + 8x + 8y (ii) 15xy -6x + 5y - 2
(iii) ax + bx - ay - by (iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
(v) z - 7 + 7xy - xyz
हल :
(i) x² + xy + 8x + 8y
सभी पदों में कोई भी सार्व गुणनखंड नहीं है, अतः पुनः समूहन करने पर -
= (x² + xy) + (8x + 8y)
= x (x + y) + 8 (x + y)
= (x + y) (x + 8)
(ii) 15xy -6x + 5y - 2
सभी पदों में कोई भी सार्व गुणनखंड नहीं है, अतः पुनः समूहन करने पर -
= 15xy + 5y -6x - 2
= 5y (3x + 1) - 2 (3x - 2)
= (5y - 2) (5y - 2)
(iii) ax + bx - ay - by
सभी पदों में कोई भी सार्व गुणनखंड नहीं है, अतः पुनः समूहन करने पर -
= (ax + bx) - (ay - by)
= x (a + b) - y (a + b)
= (a + b) (x - y)
(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
सभी पदों में कोई भी सार्व गुणनखंड नहीं है, अतः पुनः समूहन करने पर -
= 15pq + 15 + 9q + 25p
= (15pq + 25p) + (9q + 15)
= 5p (3q + 5) + 3 (3q + 5)
= (5p + 3) +(5p + 3)
(v) z - 7 + 7xy - xyz
सभी पदों में कोई भी सार्व गुणनखंड नहीं है, अतः पुनः समूहन करने पर -
= z - 7 + 7xy - xyz
= z - xyz - 7 + 7xy
= z (1 - xy) - 7 (1 - xy)
= (z - 7) (1 - xy)
प्रश्नावली 14.2
1. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए :
(i) a² + 8a +16 (ii) p² - 10p + 25 (iii) 25m² + 30m + 9
(iv) 49y² + 84yz + 36z² (v) 4x² - 8x + 4
(vi) 121b² - 88bc + 16c²
(vii) (l + m)² - 4lm (संकेत : पहले (l + m)² को प्रसारित कीजिए।)
(viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴
हल : (i) a² + 8a +16
= a² + 4a + 4a + 16
= a (a + 4) + 4 (a + 4)
= (a + 4) (a + 4)
∵ (a + b) (a + b) = (a + b)²
∴ (a +4)²
(ii) p² - 10p + 25
= p² - 5p - 5p + 25
= p (p - 5) - 5 (p - 5)
= (p - 5) (p - 5)
∵ (a - b) (a - b) = (a - b)²
∴ (p - 5)²
(iii) 25m² + 30m + 9
= 25m² + 15m + 15m + 9
= 5m (5m + 3) + 3 (5m + 3)
= (5m + 3) (5m + 3)
∵ (a + b) (a + b) = (a + b)²
∴ (5m + 2)²
(iv) 49y² + 84yz + 36z²
= 49y² + 42yz + 42yz + 36z²
= 7y (7y + 6z) + 6z (7y + 6z)
= (7y +6z) + (7y + 6z)
∵ (a + b) (a + b) = (a + b)²
∴ (7y + 6z)²
(vi) 121b² - 88bc + 16c²
= 121b² - 44bc - 44bc + 16c²
= 11b (11b - 4c) - 4c (11b - 4c)
= (11b - 4c) (11b - 4c)
∵ (a + b) (a + b) = (a + b)²
∴ (11b - 4c)²
(vii) (l + m)² - 4lm
∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²
∴ l² + 2lm + m² - 4lm
= l² + 2lm - 4lm + m²
= l² - 2lm + m²
∵ a² - 2ab + b² = (a - b)²
∴ (l - m)²
(viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴
= (a²)² + 2a²b² + (b²)²
∵ a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ (a² + b²)²
2. गुणनखंड कीजिए :
(i) 4p² - 9q² (ii) 63a² - 112b² (iii) 49x² - 36
(iv) 16x⁵ - 144x³ (v) (l + m)² - (l - m)²
(vi) 9x²y² - 16 (vii) (x² - 2xy + y²) - z²
(viii) 25a² - 4b² + 28bc - 49c²
हल : (i) 4p² - 9q²
= (2p)² - (3q)²
∵ a² - b² = (a + b) (a - b)
= (2p + 3q) (2p - 3q)
(ii) 63a² - 112b²
= 7 (9a² - 16b²)
= 7 [(3a)² - (4b)²]
∵ a² - b² = (a + b) (a - b)
= 7 (3a + 4b) (3a - 4b)
(iii) 49x² - 36
= (7x)² - (6)²
∵ a² - b² = (a + b) (a - b)
= (7x + 6) (7x -6)
(iv) 16x⁵ - 144x³
= 16x³ (x² - 9)
= 16x³ (x² - 3²)
∵ a² - b² = (a + b) (a - b)
= 16x³ (x + 3) (x - 3)
(v) (l + m)² - (l - m)²
∵ a² - b² = (a + b) (a - b)
= (l + m + l - m) [(l + m) - ( l - m)]
= 2l (l + m - l + m)
= 2l × 2m
= 4lm
(vi) 9x²y² - 16
= (3xy)² - (4)²
∵ a² - b² = (a + b) (a - b)
= (3xy + 4) (3xy - 4)
(vii) (x² - 2xy + y²) - z²
∵ a² - 2ab + b² = (a - b)²
= (x - y)² - z²
∵ a² - b² = (a + b) (a - b)
= (x - y + z) (x - y - z)
(viii) 25a² - 4b² + 28bc - 49c²
पुनः समूहन करने पर -
= 25a² - (4b² - 28bc + 49c²)
= 25a² - [(2b)² - 2 × 2b × 7c + (7c)²]
∵ a² - 2ab + b² = (a - b)²
= 25a² - (2b - 7c)²
∵ a² - b² = (a + b) (a - b)
= (5a)² - (2b - 7c)²
= (5a + 2b - 7c) (5a - 2b - 7c)
3. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए :
(i) ax² + bx (ii) 7p² + 21q² (iii) 2x³ + 2xy² + 2xz²
(iv) am² + bm² + bn² + an² (v) (lm + l) + m + 1
(vi) y (y + z) + 9 (y + z) (vii) 5y² - 20y - 8z + 2yz
(viii) 10ab + 4a + 5b +2 (ix) 6xy - 4y + 6 - 9x
हल : (i) ax² + bx
= x = (ax + b)
(ii) 7p² + 21q²
= 7 (p² + 3q²)
(iii) 2x³ + 2xy² + 2xz²
= 2x (x² + y² + z²)
(iv) am² + bm² + bn² + an²
पुनः समूहन करने पर -
= (am² + bm²) + (an² + bn²)
= m² (a + b) + n² (a + b)
= (a + b) (m² + n²)
(v) (lm + l) + m + 1
पुनः समूहन करने पर -
= (lm + m) + (l + 1)
= m (l + 1) + 1 (l + 1)
= (l + 1) (m + 1)
(vi) y (y + z) + 9 (y + z)
= (y + z) (y + 9)
(vii) 5y² - 20y - 8z + 2yz
पुनः समूहन करने पर -
= 5y² - 20y + 2yz - 8z
= 5y (y - 4) + 2z (y - 4)
= (y - 4) (5y + 2z)
(viii) 10ab + 4a + 5b + 2
पुनः समूहन करने पर -
= 10ab + 5b + 4a + 2
= 5b (2a + 1) + 2 (2a + 1)
= (2a + 1) (5b + 2)
(ix) 6xy - 4y + 6 - 9x
पुनः समूहन करने पर -
= 6xy - 4y -9x + 6
= 2y (3x - 2) - 3 (3x + 2)
= (3x - 2) (2y -3)
4. गुणनखंड कीजिए :
(i) a⁴ - b⁴ (ii) p⁴ - 81 (iii) x⁴ - (y + z)⁴
(iv) x⁴ - (x - z)⁴ (v) a⁴ - 2a²b² + b⁴
हल : (i) a⁴ - b⁴
= (a²)² - (b²)²
chunki a² - b² = (a + b) (a - b)
= (a² + b²) (a² - b²)
= (a² + b²) (a + b) (a - b)
(ii) p⁴ - 81
= (p²)² - (3²)²
chunki a² - b² = (a + b) (a - b)
= (p² + 3²) (p² - 3²)
= (p² + 3²) (p + 3) (p - 3)
(iii) x⁴ - (y + z)⁴
= (x²)² - [(y + z)²]²
= [x² + (y + z)²] + [x² - (y + z)²]
= [x² + (y + z)²] + (x + y + z) [x - (y + z)]
= [x² + (y + z)²] + (x + y + z) (x - y - z)
(v) a⁴ - 2a²b² + b⁴
= (a²)² - 2 × a² × b² + (b²)²
chunki a² - 2ab + b² = (a - b)²
= (a² - b²)²
5. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए :
(i) p² + 6p + 8 (ii) q² - 10q +21 (iii) p² + 6p - 16
हल : (i) p² + 6p + 8
= p² + 4p + 2p + 8
= p (p + 4) + 2 (p + 4)
= (p + 4) (p + 2)
(ii) q² - 10q +21
= q² - 7q - 3q +21
= q (q - 7) - 3 (q - 7)
= (q - 7) (q - 3)
(iii) p² + 6p - 16
= p² + 8p - 2p - 16
= p (p + 8) - 2 (p + 8)
= (p + 8) (p - 2)
प्रश्नावली 14.3
1. निम्नलिखित विभाजन कीजिए :
(i) 28x⁴ ÷ 56x (ii) - 36y³ ÷ 9y² (iii) 66pq²r³ ÷ 11 qr²
(iv) 34x³y³z³ ÷ 51xy²z³ (v) 12a⁸b⁸ ÷ (-6a⁶b⁴)
हल :
(i) 28x⁴ ÷ 56x
$\begin{array}{l}
= \frac{{2 \times 2 \times 7 \times x \times x \times x \times x}}{{2 \times 2 \times 2 \times 7 \times x}}\\
= \frac{{x \times x \times x}}{2}\\
= \frac{1}{2}{x^3}
\end{array}$
(ii) - 36y³ ÷ 9y²
$ = \frac{{ - 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times y \times y \times y}}{{3 \times 3 \times y \times y}}$
= - 2 × 2 × y
= - 4y
(iii) 66pq²r³ ÷ 11 qr²
$ = \frac{{2 \times 3 \times 11 \times p \times q \times q \times r \times r \times r}}{{11 \times q \times r \times r}}$
= 2 × 3 × p × q × r
= 6pqr
(iv) 34x³y³z³ ÷ 51xy²z³
$ = \frac{{2 \times 17 \times x \times x \times x \times y \times y \times y \times z \times z \times z}}{{3 \times 17 \times x \times y \times y \times z \times z \times z}}$
$ = \frac{2}{3}$×x² × y
$ = \frac{2}{3}$x²y
(v) 12a⁸b⁸ ÷ (-6a⁶b⁴)
$ = \frac{{2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times b \times b \times b \times b \times b \times b \times b \times b}}{{ - 2 \times 3 \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times b \times b \times b \times b \times b}}$
= - 2 × a × a × a × a × b × b
= - 2a²b⁴
2. दिए हुए बहुपद को दिए हुए एकपदी से भाग दीजिए :
(i) (5x² - 6x) ÷ 3x (ii) (3y⁸ - 4y⁶ + 5y⁴) ÷ y⁴
(iii) 8 (x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³) ÷ 4x²y²z²
(iv) (x³ + 2x² + 3x) ÷ 2x (v) (p³q⁶ - p⁶q³) ÷ p³q³
हल :
(i) (5x² - 6x) ÷ 3x
$\begin{array}{l}
= \frac{{x(5x - 6)}}{{3x}}\\
= \frac{1}{3}(5x - 6)
\end{array}$
(ii) (3y⁸ - 4y⁶ + 5y⁴) ÷ y⁴
$ = \frac{{{y^4}(3{y^4} - 4{y^2} + 5)}}{{{y^4}}}$
= (3y⁴ - 4y² +5)
(iii) 8 (x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³) ÷ 4x²y²z²
$ = \frac{{4{x^2}{y^2}{z^2} \times 2(x + y + z)}}{{4{x^2}{y^2}{z^2}}}$
= 2 (x + y + z)
(iv) (x² + 2x² + 3x) ÷ 2x
$\begin{array}{l}
= \frac{{x({x^2} + 2x + 3)}}{{2x}}\\
= \frac{1}{2}({x^2} + 2x + 3)
\end{array}$
(v) (p³q⁶ - p⁶q³) ÷ p³q³
$ = \frac{{{p^3}{q^3}({q^3} - {p^3})}}{{{p^3}{q^3}}}$
= q³ - p³
3. निम्नलिखित विभाजन कीजिए :
(i) (10x - 25) ÷ 5 (ii) (10x - 25) ÷ (2x - 5)
(iii) 10y (6y + 21) ÷ 5 (2y +7)
(iv) 9x²y² (3z -24) ÷ 27xy (z-8)
(v) 96abc (3a - 12) (5b - 30) ÷ 144 (a - 4) (b - 6)
हल :
(i) (10x - 25) ÷ 5
$\begin{array}{l}
= \frac{{x(5x - 6)}}{{3x}}\\
= \frac{1}{3}(5x - 6)
\end{array}$
(ii) (10x - 25) ÷ (2x - 5)
$ = \frac{{5(2x - 5)}}{{(2x - 5)}}$
= 5
(iii) 10y (6y + 21) ÷ 5 (2y +7)
$ = \frac{{10y \times 3(2y + 7)}}{{5(2y + 7)}}$
= 2y × 3
= 6y
(iv) 9x²y² (3z -24) ÷ 27xy (z-8)
$ = \frac{{9x2y2 \times 3(z - 8)}}{{9 \times 3 \times xy(z - 8)}}$
= xy
(v) 96abc (3a - 12) (5b - 30) ÷ 144 (a - 4) (b - 6)
$\begin{array}{l}
= \frac{{48 \times 2 \times abc \times 3(a - 4) \times 5(b - 6)}}{{48 \times 3(a - 4)(b - 6)}}\\
= \frac{{48 \times 3(a - 4)(b - 6) \times 2 \times 5 \times abc}}{{48 \times 3(a - 4)(b - 6)}}
\end{array}$
= 2 × 5 × abc
= 10abc
4. निर्देशानुसार भाग दीजिए :
(i) 5 (2x + 1) (3x + 5) ÷ (2x + 1) (ii) 26xy (x + 5) (y - 4) ÷ 13x (y - 4)
(iii) 52pqr (p + q) (q + r) (r + p) ÷ 104pq (q + r) (r + p)
(iv) 20 (y + 4) (y² + 5y + 3) ÷ 5(y + 4)
(v) x (x + 1) (x + 2) (x + 3) ÷ x (x + 1)
हल :
(i) 5 (2x + 1) (3x + 5) ÷ (2x + 1)
$ = \frac{{5(2x + 1)(3x + 5)}}{{(2x + 1)}}$
= 5 (3x + 5)
(ii) 26xy (x + 5) (y - 4) ÷ 13x (y - 4)
$\begin{array}{l}
= \frac{{26xy(x + 5)(y - 4)}}{{13x(y - 4)}}\\
= \frac{{13x(y - 4) \times 2y(x + 5)}}{{13x(y - 4)}}
\end{array}$
= 2y (x + 5)
(iii) 52pqr (p + q) (q + r) (r + p) ÷ 104pq (q + r) (r + p)
$\begin{array}{l}
= \frac{{52 \times pqr \times (p + q)(q + r)(r + p)}}{{2 \times 52 \times pq(q + r)(r + p)}}\\
= \frac{{52 \times pq(q + r)(r + p) \times r(p + q)}}{{52 \times pq(q + r)(r + p) \times 2}}\\
= \frac{1}{2}r(p + q)
\end{array}$
(iv) 20 (y + 4) (y² + 5y + 3) ÷ 5 (y + 4)
$\begin{array}{l}
= \frac{{2 \times 2 \times 5 \times (y + 4)({y^2} + 5y + 3)}}{{5(y + 4)}}\\
= \frac{{5(y + 4) \times 4({y^2} + 5y + 3)}}{{5(y + 4)}}
\end{array}$
= 4 (y² + 5y + 3)
(v) x (x + 1) (x + 2) (x + 3) ÷ x (x + 1)
$ = \frac{{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)}}{{x(x + 1)}}$
= (x + 2) (x + 3)
5. व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए और निर्देशानुसार भाग दीजिए :
(i) (y² + 7y + 10) ÷ (y + 5) (ii) (m² - 14m - 32) ÷ (m + 2)
(iii) (5p² - 25p + 20) ÷ (p - 1) (iv) 4yz (z² + 6z - 16) ÷ 2y (z + 8)
(v) 5pq (p² - q²) ÷ 2p (p + q)
(vi) 12xy (9x² - 16y²) ÷ 4xy (3x + 4y)
(vii) 39y³ (50y² - 98) ÷ 25y² (5y + 7)
हल :
(i) (y² + 7y + 10) ÷ (y + 5)
$\begin{array}{l}
= \frac{{({y^2} + 7y + 10)}}{{(y + 5)}}\\
= \frac{{{y^2} + 5y + 2y + 10}}{{(y + 5)}}\\
= \frac{{y(y + 5) + 2(y + 5)}}{{(y + 5)}}\\
= \frac{{(y + 5)(y + 2)}}{{(y + 5)}}
\end{array}$
= (y + 2)
(ii) (m² - 14m - 32) ÷ (m + 2)
$\begin{array}{l}
= \frac{{({m^2} - 14m - 32)}}{{(m + 2)}}\\
= \frac{{{m^2} - 16m + 2m - 32}}{{(m + 2)}}\\
= \frac{{m(m - 16) + 2(m - 16)}}{{(m + 2)}}\\
= \frac{{(m - 16)(m + 2)}}{{(m + 2)}}
\end{array}$
= (m - 16)
(iii) (5p² - 25p + 20) ÷ (p - 1)
$\begin{array}{l}
= \frac{{(5{p^2} - 25p + 20)}}{{(p - 1)}}\\
= \frac{{5{p^2} - 20p - 5p + 20}}{{(p - 1)}}\\
= \frac{{5p(p - 4) - 5(p - 4)}}{{(p - 1)}}\\
= \frac{{(p - 4)(5p - 5)}}{{(p - 1)}}\\
= = \frac{{(p - 4)5(p - 1)}}{{(p - 1)}}
\end{array}$
= 5 (p - 4)
(iv) 4yz (z² + 6z - 16) ÷ 2y (z + 8)
$\begin{array}{l}
= \frac{{4yz({z^2} + 6z - 16)}}{{2y(z + 8)}}\\
= \frac{{2 \times y \times 2 \times z({z^2} + 8z - 2z - 16)}}{{2y(z + 8)}}\\
= \frac{{2y \times 2z[z(z + 8) - 2(z + 8)]}}{{2y(z + 8)}}\\
= \frac{{2y \times 2z(z + 8)(z - 2)]}}{{2y(z + 8)}}
\end{array}$
= 2z (z + 8)
(v) 5pq (p² - q²) ÷ 2p (p + q)
$\begin{array}{l}
= \frac{{5pq({p^2} - {q^2})}}{{2p(p + q)}}\\
= \frac{{5pq(p + q)(p - q)}}{{2p(p + q)}}\\
= \frac{5}{2}q(p - q)
\end{array}$
(vi) 12xy (9x² - 16y²) ÷ 4xy (3x + 4y)
$\begin{array}{l}
= \frac{{12xy(9{x^2} - 16{y^2})}}{{4xy(3x + 4y)}}\\
= \frac{{4xy \times 3[{{(3x)}^2} - {{(4y)}^2}]}}{{4xy(3x + 4y)}}\\
= \frac{{4xy \times 3(3x + 4y)(3x - 4y)}}{{4xy(3x + 4y)}}
\end{array}$
= 3 (3x - 4y)
(vii) 39y³ (50y² - 98) ÷ 25y² (5y + 7)
$\begin{array}{l}
= \frac{{39{y^3}(50{y^2} - 98)}}{{26{y^2}(5y + 7)}}\\
= \frac{{3 \times 13 \times {y^3} \times 2(25{y^2} - 49)}}{{2 \times 13 \times {y^2}(5y + 7)}}\\
= \frac{{3 \times 13 \times {y^3} \times 2[{{(5y)}^2} - {{(7)}^2}]}}{{2 \times 13 \times {y^2}(5y + 7)}}\\
= \frac{{3 \times 13 \times {y^3} \times 2(5y + 7)(5y - 7)}}{{2 \times 13 \times {y^2}(5y + 7)}}
\end{array}$
= 2y (5y - 7)
प्रश्नावली 14.4
निम्नलिखित गणितीय कथनों में त्रुटि ज्ञात करके उसे सही कीजिए :
1. 4 (x - 5) = 4x - 5 2. x (3x + 2) = 3x² + 2
3. 2x + 3y = 5xy 4. x + 2x + 3x = 5x
5. 5y + 2y + y - 7y = 0 6. 3x + 2x = 5x²
7. (2x)² + 4 (2x) + 7 = 2x² + 8x + 7
8. (2x)² + 5x = 4x + 5x = 9x
9. (3x + 2)² = 3x² + 6x +4
हल :
1. 4 (x - 5) = 4x - 5
बायां पक्ष (L.H.S) = 4 (x - 5)
= 4x - 20
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = 4x - 20 होगा।
अतः समीकरण 4 (x - 5) = 4x - 5 होगा।
2. x (3x + 2) = 3x² + 2
बायां पक्ष (L.H.S) = x (3x + 2)
= 3x² + 2x
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = 3x² + 2x होगा।
अतः समीकरण x (3x + 2) = 3x² + 2x होगा।
3. 2x + 3y = 5xy
बायां पक्ष (L.H.S) = 2x + 3y
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = 2x + 3y होगा।
समीकरण 2x + 3y = 2x + 3y होगा।
4. x + 2x + 3x = 5x
बायां पक्ष (L.H.S) = x + 2x + 3x
= 6x
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = 6x होगा।
अतः समीकरण x + 2x + 3x = 6x होगा।
5. 5y + 2y + y - 7y = 0
बायां पक्ष (L.H.S) = 5y + 2y + y - 7y
= 8y - 7y
= y
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = y होगा।
अतः समीकरण 5y + 2y + y - 7y = y होगा।
6. 3x + 2x = 5x²
बायां पक्ष (L.H.S) = 3x + 2x
= 5x
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = 5x होगा।
अतः समीकरण 3x + 2x = 5x होगा।
7. (2x)² + 4 (2x) + 7 = 2x² + 8x + 7
बायां पक्ष (L.H.S) = (2x)² + 4 (2x) + 7
= 4x² + 8x + 7
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = 4x² + 8x + 7 होगा।
अतः समीकरण (2x)² + 4 (2x) + 7 = 4x² + 8x + 7 होगा।
8. (2x)² + 5x = 4x + 5x = 9x
बायां पक्ष (L.H.S) = (2x)² + 5x
= 4x² + 5x
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = 4x² + 5x होगा।
अतः समीकरण (2x)² + 5x = 4x² + 5x होगा।
9. (3x + 2)² = 3x² + 6x +4
बायां पक्ष (L.H.S) = (3x + 2)²
= (3x)² + 2 × 3x × 2 + (2)²
= 9x² + 12x + 4
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = 9x² + 12x + 4 होगा।
अतः समीकरण (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4 होगा।
10. x = - 3 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है।
(a) x² + 5x + 4 से (- 3)² + 5 (- 3) + 4 = 9 + 2 + 4 = 15 प्राप्त होता है।
हल : x = - 3 समीकरण x² + 5x + 4 में रखने पर -
= (- 3)² + 5 × (- 3) + 4
= 9 - 15 + 4
= - 15 + 13
= - 2
अतः समीकरण x² + 5x + 4 में x = - 3 रखने पर - 2 प्राप्त होगा।
(b) x² - 5x + 4 से (- 3)² - 5 (- 3) + 4 = 9 - 15 + 4 = - 2 प्राप्त होता है।
हल : x = - 3 समीकरण x² - 5x + 4 में रखने पर -
= (- 3)² - 5 × (- 3) + 4
= 9 + 15 + 4
= 28
अतः समीकरण x² - 5x + 4 में x = - 3 रखने पर 28 प्राप्त होगा।
(c) x² + 5x से (- 3)² + 5 (- 3) = - 9 - 15 = - 24 प्राप्त होता है।
हल : x = - 3 समीकरण x² + 5x में रखने पर -
= (- 3)² + 5 × (- 3)
= 9 - 15
= - 6
अतः समीकरण x² + 5x में x = - 3 रखने पर - 6 प्राप्त होगा।
11. (y - 3)² = y² - 9
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = (y - 3)²
= y² - 2 × y × 3 + (3)²
= y² - 6y + 9
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = y² - 6y + 9 होगा।
अतः समीकरण (y - 3)² = y² - 6y + 9 होगा।
12. (x + 5)² = z² + 25
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = (x + 5)²
= x² + 2 × x × 5 + (5)²
= x² + 10x + 25
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = x² + 10x + 25 होगा।
अतः समीकरण (x + 5)² = x² + 10x + 25 होगा।
13. (2a + 3b) (a - b) = 2a² - 3b²
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = (2a + 3b) (a - b)
= 2a (a - b) + 3b (a - b)
= 2a² - 2ab + 3ab - 3b²
= 2a² + ab - 3b²
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = 2a² + ab - 3b² होगा।
अतः समीकरण (2a + 3b) (a - b) = 2a² + ab - 3b² होगा।
14. (a + 4) (a + 2) = a² + 6a +8
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = (a + 4) (a + 2)
= a (a + 2) + 4 (a + 2)
= a² + 2a + 4a + 8
= a² + 6a + 8
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = a² + 6a + 8 होगा।
अतः समीकरण (a + 4) (a + 2) = a² + 6a + 8 होगा।
15. (a - 4) (a - 2) = a² - 8
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = (a - 4) (a - 2)
= a (a - 2) - 4 (a - 2)
= a² - 2a - 4a + 8
= a² - 6a + 8
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = a² - 6a + 8 होगा।
अतः समीकरण (a - 4) (a - 2) = a² - 6a + 8 होगा।
16. $\frac{{3{x^2}}}{{3{x^2}}} = 0$
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = $\frac{{3{x^2}}}{{3{x^2}}}$
= 1
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = $\frac{{3{x^2}}}{{3{x^2}}}$ होगा।
अतः समीकरण $\frac{{3{x^2}}}{{3{x^2}}} = 1$ होगा।
17. $\frac{{3{x^2} + 1}}{{3{x^2}}} = 1 + 1 = 2$
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = $\frac{{3{x^2} + 1}}{{3{x^2}}}$
$\begin{array}{l}
= \frac{{3{x^2}}}{{3{x^2}}} + \frac{1}{{3x}}\\
= 1 + \frac{1}{{3x}}
\end{array}$
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = $\begin{array}{l}
= \frac{{3{x^2}}}{{3{x^2}}} + \frac{1}{{3x}}\\
= 1 + \frac{1}{{3x}}
\end{array}$
होगा।
अतः समीकरण $\frac{{3{x^2} + 1}}{{3{x^2}}} = 1 + \frac{1}{{3x}}$ होगा।
18. $\frac{{3x}}{{3x + 2}} = \frac{1}{2}$
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = $\frac{{3x}}{{3x + 2}}$
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = $\frac{{3x}}{{3x + 2}}$ होगा।
अतः समीकरण $\frac{{3x}}{{3x + 2}} = \frac{{3x}}{{3x + 2}}$ होगा।
19. $\frac{3}{{4x + 3}} = \frac{1}{{4x}}$
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = $\frac{3}{{4x + 3}}$
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = $\frac{3}{{4x + 3}}$ होगा।
अतः समीकरण $\frac{3}{{4x + 3}} = \frac{3}{{4x + 3}}$ होगा।
20. $\frac{{4x + 5}}{{4x}} = 5$
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = $\frac{{4x + 5}}{{4x}}$
$\begin{array}{l}
= \frac{{4x}}{{4x}} + \frac{5}{{4x}}\\
= 1 + \frac{5}{{4x}}
\end{array}$
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = $1 + \frac{5}{{4x}}$ होगा।
अतः समीकरण $\frac{{4x + 5}}{{4x}} = 1 + \frac{5}{{4x}}$ होगा।
21. $\frac{{7x + 5}}{5} = 7x$
हल : बायां पक्ष (L.H.S) = $\frac{{7x + 5}}{5}$
= $\begin{array}{l}
= \frac{{7x}}{5} + \frac{5}{5}\\
= \frac{{7x}}{5} + 1
\end{array}$
अतः दायां पक्ष (R.H.S) = $\frac{{7x}}{5} + 1$ होगा।
अतः समीकरण $\frac{{7x + 5}}{5} = \frac{{7x}}{5} + 1$ होगा।
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