अध्याय से सम्बंधित कुछ महत्वपूर्ण सूत्र -
- आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
- आयत का परिमाप = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई)
- वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
- वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा
- त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
- त्रिभुज का परिमाप = सभी तीनों भुजाओं का योग
- समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =
- समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल =
- चतुर्भुज का क्षेत्रफल =
- वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
- वृत्त की परिधि = 2πr
- घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (ल0 × चौ0 + चौ0 × ऊँ0 + ऊँ0 × ल0)
- घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
- घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (लम्बाई × चौड़ाई)
- घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)²
- घन का आयतन = (भुजा)³
- घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (भुजा)²
- बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
- बेलन का पार्श्व (वक्र पृष्ठीय) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
- बेलन का आयतन = πr²h
1 cm³ = 1 mL
1 L = 1000 cm³
1 m³ = 1000000 cm³ = 1000 L
प्रश्नावली 11.1
Q.1 जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है, एक आयताकार और एक वर्गाकार खेत के माप दिए हुए है। यदि इनके परिमाप समान है, तो किस खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा ?
हल : वर्ग की भुजा = 60 m
परिमाप = 4 × 60
वर्ग का परिमाप = 240 m
प्रश्नानुसार आयत और वर्ग का परिमाप बराबर है -
अतः आयत का परिमाप = वर्ग का परिमाप
2 × (लम्बाई + चौड़ाई) = 240
आयत की लम्बाई = 80 m
माना की आयत की चौड़ाई = 𝑥
सूत्र में मान रखने पर -
2 × (80 + 𝑥) = 240
160 + 2𝑥 = 240
2𝑥 = 240 - 160
2𝑥 = 80
𝑥 = 80 ÷ 2
𝑥 = 40 m
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 80 × 40
= 3200 m²
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (60)²
= 3600 m²
अतः वर्ग का क्षेत्रफल अधिक है।
Q.2 श्रीमती कौशिक के पास चित्र में दर्शाए गए मापों वाला एक वर्गाकार प्लाट है। घर के चारों ओर एक बगीचा विकसित किया गया है। 55 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से इस बगीचे की विकसित करने का व्यय ज्ञात कीजिए।
प्लाट का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (25)²
= 625 m²
आयताकार घर की लम्बाई = 20 m
आयताकार घर की चौड़ाई = 15 m
आयताकार घर का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 20 ⨯ 15
= 300 m²
बगीचे का क्षेत्रफल = प्लाट का क्षेत्रफल - घर का क्षेत्रफल
= 625 - 300
= 325 m²
∵ 1 m² बगीचे को विकसित करने का खर्च = 55 रु.
∴ 325 m² बगीचे को विकसित करने का खर्च = 55 ⨯ 325
= 17875 रु.
Q.3 जैसा कि आरेख में दर्शाया गया है, एक बगीचे का आकार मध्य में आयताकार है और किनारों पर अर्धवृत्त के रूप में है। इस बगीचे का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [आयत की लम्बाई 20 - (3.5 + 3.5) मीटर है। ]
हल : अर्धवृत्त I का व्यास = 7 m
अर्धवृत्त I की त्रिज्या = 3.5 m
अर्धवृत्त I की परिधि = 2πr
$\begin{array}{l}
= \frac{{2\pi r}}{2}\\
= \frac{{22}}{7} \times 3.5\\
= 22 \times 0.5\\
= 11m
\end{array}$
अर्धवृत्त II परिधि भी I के समान ही होगी क्योकि इनकी त्रिज्या सामान है = 11 m
मध्य आयताकार बगीचे की लम्बाई = 20 m
बगीचे का कुल परिमाप = अर्धवृत्त I की परिधि + मध्य आयत की दोनों ओर लम्बाई + अर्धवृत्त II की परिधि
= 11 + 13 + 13 + 11
= 48 m
अर्धवृत्त I का क्षेत्रफल = $\frac{{\pi {r^2}}}{2}$
= $\begin{array}{l}
= \frac{{22 \times {{\left( {3.5} \right)}^2}}}{{7 \times 2}}\\
= \frac{{22 \times 3.5 \times 3.5}}{{7 \times 2}}\\
= 11 \times 3.5 \times 0.5\\
= 19.25{m^2}
\end{array}$
अर्धवृत्त II का क्षेत्रफल भी I के समान होगा क्यूंकि इनकी त्रिज्या समान है = 19.25 m²
मध्य आयत की लम्बाई = 13 m
मध्य आयत की चौड़ाई = 7 m
मध्य आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई ⨯ चौड़ाई
= 13 ⨯ 7
= 91 m²
बगीचे का कुल क्षेत्रफल = अर्धवृत्त I का क्षेत्रफल + मध्य आयत का क्षेत्रफल + अर्धवृत्त II का क्षेत्रफल
= 19.25 + 91 + 19.25
= 129.5 m²
Q.4 फर्श बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक टाइल का आकार समांतर चतुर्भुज का है जिसका आधार 24 cm और संगत ऊँचाई 10 cm है। 1080 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के एक फर्श को ढकने के लिए ऐसी कितनी टाइलों की आवश्यकता है ? (फर्श के कोनों को भरने के लिए आवश्यकतानुसार आप टाइलों को किसी भी रूप में तोड़ सकते है।)
हल : समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई = 10 cm
समान्तर चतुर्भुज का आधार = 24 cm
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार ⨯ ऊँचाई
= 240 cm²
फर्श का क्षेत्रफल = 1080 m² या 1080 ⨯ 10000 = 10800000 cm²
टाइलों की संख्या = फर्श का क्षेत्रफल / एक टाइल का क्षेत्रफल
$ = \frac{{10800000}}{{240}}$
= 45000 टाइलें
Q.5 एक चींटी किसी फर्श पर बिखरे हुए विभिन्न आकारों के भोज्य पदार्थ के टुकड़ों के चारों ओर घूम रही है। भोज्य पदार्थ के किस टुकड़े की लिए चींटी को लंबा चक्कर लगाना पड़ेगा ? स्मरण रखिए, वृत्त की परिधि सूत्र c = 2πr, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, की सहायता से प्राप्त की जा सकती है।
हल : चूँकि हम जानते है की चींटी आकृति के परिमाप के बराबर चक्कर लगाएगी। अतः
आकृति I का परिमाप = 2.8 + अर्धवृत्त का परिमाप
अर्धवृत का व्यास = 2.8 m
त्रिज्या = 1.4 m
अर्धवृत्त का परिमाप = $ = 2.8 + \frac{{2 \times 22 \times 1.4}}{{2 \times 7}}$
= 2.8 + 22 x 0.2
= 2.8 + 4.4
= 7.2 m
आकृति II का परिमाप = 1.5 + 2.8 + 1.5 + अर्धवृत्त का परिमाप
$ = 1.5 + 2.8 + 1.5 + \frac{{2 \times 22 \times 1.4}}{{2 \times 7}}$
= 1.5 + 2.8 + 1.5 + 4.4
= 10.2 m
आकृति III का परिमाप = 2 + 2 + अर्धवृत्त का परिमाप
= $ = 2 + 2 + \frac{{2 \times 22 \times 1.4}}{{2 \times 7}}$
= 2 + 2 + 4.4
= 8.4 m
अतः चींटी को टुकड़े b के लिए सबसे लंबा चक्कर लगाना पड़ेगा क्योकि टुकड़े b का परिमाप सबसे अधिक है।
प्रश्नावली 11.2
Q.1 एक मेज के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1 m और 1.2 m है तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0.8 m है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : समलंब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ = 1 m और 1.2 m
बीच की दूरी (ऊँचाई) = 0.8 m
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल =
$ = \frac{1}{2} \times \left( {1 + 1.2} \right) \times 0.8$
= 2.2 x 0.8
= 1.76 m²
Q.2 समलंब का क्षेत्रफल 34 cm² है और इसकी ऊँचाई 4 cm है। समांतर भुजाओं में से एक की 10 cm लंबाई है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल : समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई = 4 cm
समलंब चतुर्भुज की एक भुजा = 10 cm
माना कि समलंब चतुर्भुज की दूसरी भुजा = 𝑥 है।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल =
$\frac{1}{2} \times \left( {10 + x} \right) \times 4 = 34$
(10 + 𝑥) × 2 = 34
20 + 2𝑥 = 34
2𝑥 = 34 - 20
2𝑥 = 14
$x = \frac{{14}}{2}$
𝑥 = 7 cm
अतः दूसरी भुजा की लंबाई 7 cm होगी।
Q.3 एक समलंब के आकार के खेत ABCD की बाड़ की लंबाई 120 m है। यदि BC = 48 m, CD = 17 m और AD = 40 m है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा AB समांतर भुजाओं AD तथा BC पर लंब है। 
हल : समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप = 120 m
समलंब चतुर्भुज की तीनों भुजाओं का योग = 48 + 17 + 40 = 105 m
समलंब चतुर्भुज की चौथी भुजा (AB) = 120 - 105 = 15 m
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल =
$\begin{array}{l}
= \frac{1}{2} \times \left( {40 + 48} \right) \times 15\\
= \frac{1}{2} \times 88 \times 15
\end{array}$
= 44 × 15
= 660 m²
Q.4 एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24 m है और शेष सम्मुख शीर्षो से इस विकर्ण पर खींचे गए लंब 8 m एवं 13 m है। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
हल :
$\begin{array}{l}
= \frac{1}{2} \times (13 + 8) \times 24\\
= \frac{1}{2} \times 21 \times 24
\end{array}$
= 21 × 12
= 252 m²
Q.5 किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 7.5 cm एवं 12 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : समचतुर्भुज के विकर्ण = 7.5 cm व 12 cm
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 
$ = \frac{1}{2} \times 6 \times 7.5$
= 6 × 7.5
= 45 cm²
Q.6 एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6 cm और शीर्षलंब 4 cm है। यदि एक विकर्ण की लम्बाई 8 cm है तो दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल : समचतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज माने तो -
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= 6 × 4
= 24 cm²
माना कि दूसरा विकर्ण = 𝑥
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =
$24 = \frac{1}{2} \times 8 \times x$
24 = 4 × 𝑥
24 = 4𝑥
$x = \frac{{24}}{4}$
𝑥 = 6 cm
अतः समचतुर्भुज का दूसरा विकर्ण 6 cm होगा।
Q.7 किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की 3000 टाइलें है और इनमें से प्रत्येक की विकर्ण 45 cm और 30 cm लम्बाई के है। 4 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल : समचतुर्भुजाकार टाइल का क्षेत्रफल = 
$ = \frac{1}{2} \times 45 \times 30$
= 45 × 15
= 675 cm²
ऐसी ही 3000 टाइलों का क्षेत्रफल = 3000 × 675
= 2025000 cm²
या 202.5 m²
∵ 1 m2 पर पॉलिश करवाने का खर्च = 4 रुपये
∴ 202.5 m² पर पॉलिश करवाने का खर्च = 202.5 × 4
= 810 रुपये
Q.8 मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर है और लंबाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल 10,500 m² है और दो समांतर भुजाओ के बीच की लंबवत दूरी 100 m है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए। 
हल : मानाकि सड़क के साथ वाली भुजा की लंबाई = 𝑥 m
नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई = 2𝑥 m
बीच की दुरी = 100 m
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 10500 m²
= 10500
$\frac{1}{2} \times \left( {x + 2x} \right) \times 100 = 10500$
3𝑥 × 50 = 10500
150𝑥 = 10500
$x = \frac{{10500}}{{150}}$
𝑥 = 70 m
अतः समलंब चतुर्भुज की पहली समांतर भुजा = 70 m
दूसरी समांतर भुजा = 2𝑥 = 2 × 70 = 140 m
Q.9 एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है। जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
हल : आकृति I एक समलंब चतुर्भुज के आकर का है
समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएं = 11 m व 5 m
समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई = 4 m
अतः समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल =
$ = \frac{1}{2} \times \left( {11 + 5} \right) \times 4$
= 16 × 2
= 32 m²
आकृति III भी आकृति I के समान है अतः इसका क्षेत्रफल भी 32 m² होगा।
आकृति II का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल (क्योकि आकृति II एक आयत है।)
आकृति II का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 11 × 5
= 55 m²
चबूतरे का कुल क्षेत्रफल = आकृति I का क्षेत्रफल + आकृति II का क्षेत्रफल + आकृति III का क्षेत्रफल
= 32 + 55 + 32
= 119 m²
Q.10 एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते है ?
हल : ज्योति द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पंचभुज आकृति को दो भागों में बांटकर दो समलंब चतुर्भुज में बाँट दिया।
अतः पंचभुज का क्षेत्रफल = 2 × समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= $\begin{array}{l}
= 2 \times \left[ {\frac{1}{2}\left( {15 + 30} \right) \times 7.5} \right]\\
= 2 \times \left( {\frac{1}{2} \times 45 \times 7.5} \right)
\end{array}$
= 45 × 7.5
= 337.5 m²
कविता द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पंचभुज आकृति को दो भागों पहला त्रिभुज व दूसरा वर्ग में बाँटा
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 
$\begin{array}{l}
= \frac{1}{2} \times 15 \times 15\\
= \frac{{225}}{2}
\end{array}$
= 112.5 m²
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= (15)²
= 225 m²
पंचभुज आकृति का कुल क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल + वर्ग का क्षेत्रफल
= 112.5 + 225
= 337.5 m²
Q.11 संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंत: विमाएँ क्रमशः 24 cm x 28 cm एवं 16 cm x 20 cm है। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
हल : पिक्चर फ्रेम में V खंड है -
खंड I का क्षेत्रफल = समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल =
$ = \frac{1}{2} \times \left( {24 + 16} \right) \times 4$
= 40 × 2
= 80 cm²
आकृति III व I समान है, अतः आकृति III का क्षेत्रफल = 80 cm²
आकृति II का क्षेत्रफल = समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
$ = \frac{1}{2} \times \left( {28 + 20} \right) \times 4$
= 48 × 2
= 96 cm²
आकृति V का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 20 × 16
= 320 cm²
प्रश्नावली 11.3
Q.1 दो घनाभकार डिब्बे है जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए काम सामग्री की आवश्यकता है ?
हल : आकृति (a) घनाभ की है।
घनाभ की लम्बाई = 60 m
घनाभ की चौड़ाई = 40 m
घनाभ की ऊँचाई = 50 m
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (ल0 × चौ0 + चौ0 × ऊ0 + ऊ0 × ल0)
= 2 × (60 × 40 + 40 × 50 + 50 × 60)
= 2 × (2400 + 2000 + 3000)
= 2 × 7400
= 14800 m²
आकृति (b) घन है।
घन की भुजा = 50 cm
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)²
= 6 × (50)²
= 6 × 2500
= 15000 m²
आकृति (a) को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है।
Q.2 80 cm × 48 cm × 24 cm माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढकना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढ़कने के लिए 96 cm चौड़ाई वाले कितने तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है ?
हल : घनाभकार सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (ल0 × चौ0 + चौ0 × ऊ0 + ऊ0 × ल0)
= 2 × (80 × 48 + 48 × 24 + 24 × 80)
= 2 × (3840 + 1152 + 1920)
= 2 × 6912
= 13824 cm²
अतः 100 सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 13824 × 100
= 1382400 cm²
तिरपाल का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
1382400 = 𝑥 × 96
96𝑥 = 1382400
$x = \frac{{1382400}}{{96}}$
𝑥 = 14400 cm
𝑥 = 144 m
अतः 100 सूटकेस को ढ़कने के लिए 144 m लंबे तिरपाल की आवश्यकता होगी।
Q.3 एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 600 cm² है।
हल : घन की भुजा = 𝑥
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 600 cm²
6 × (भुजा)² = 600
6 × 𝑥² = 600
$x = \frac{{600}}{6}$
𝑥² = 100
$x = \sqrt {100} $
अतः घन की भुजा 10 cm होगी।
Q.4 रुखसार ने 1 m × 2 m × 1.5 m माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया ?
हल : पेटी की लम्बाई = 1 m
पेटी की चौड़ाई = 2 m
पेटी की ऊँचाई = 1.5 m
पेटी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (ल0 × चौ0 + चौ0 × ऊ0 + ऊ0 × ल0)
= 2 × (1 × 2 + 2 × 1.5 + 1.5 × 1)
= 2 × (2 + 3 + 1.5)
= 2 × 6.5
= 13 m²
पेटी के तल का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 2 × 1
= 2 m²
पेंट हेतु क्षेत्रफल = पेटी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल - पेटी के तल का क्षेत्रफल
= 13 - 2
= 11 m²
Q.5 डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 15 m, 10 m और 7 m है। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से 100 m² क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी ?
हल : घनाभाकार कमरे की लंबाई = 15 m
घनाभाकार कमरे की चौड़ाई = 10 m
घनाभाकार कमरे की ऊँचाई = 7 m
घनाभाकार कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (ल0 × चौ0 + चौ0 × ऊ0 + ऊ0 × ल0)
= 2 × (15 × 10 + 10 × 7 + 7 × 15)
= 2 × (150 + 70 + 105)
= 2 × 325
= 650 m²
फर्श का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= 15 × 10
= 150 m²
घनाभाकार कमरे का पेंट हेतु क्षेत्रफल = घनाभाकार कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल - फर्श का क्षेत्रफल
= 650 - 150
= 500 m²
∵ 100 m क्षेत्रफल को पेंट करने के लिए आवश्यक कैन = 1
∴ 500 m क्षेत्रफल को पेंट करने के लिए आवश्यक कैन = $\frac{{500}}{{100}}$
= 5 कैन
Q.6 वर्णन कीजिए कि दाई तरफ दी गई आकृतियाँ प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भिन्न है ? किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है ?
हल : समानता - दोनों आकृतियों की ऊँचाई समान है।
भिन्नता - एक आकृति बेलन की है जबकि दूसरी आकृति घन की है।
घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (भुजा)²
= 4 × (7)²
= 4 × 49
= 196 cm²
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= $ = 2 \times \frac{{22}}{7} \times \frac{7}{2} \times 7$
= 22 × 7
= 154 cm²
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।
Q.7 7 m त्रिज्या और 3 m ऊँचाई वाला एक बंद बेलनाकार टैंक किसी धातु की एक चादर से बना हुआ है। उसे बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए।
हल : बेलनाकार टैंक की त्रिज्या = 7 m
बेलनाकार टैंक की ऊँचाई = 3 m
बेलनाकार टैंक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r+h)
$ = 2 \times \frac{{22}}{7} \times 7 \times (7 + 3)$
= 44 × 10
= 440 m²
धातु की चादर का क्षेत्रफल = 440 m² होगा।
Q.8 एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4224 cm² है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर 32 cm चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल : आयताकार शीट की चौड़ाई = 32 cm
मानाकि आयताकार शीट की लम्बाई = 𝑥 है।
आयताकार शीट का क्षेत्रफल = 4224 cm²
लंबाई × चौड़ाई = 4224 cm²
𝑥 × 32 = 4224
32𝑥 = 4224
$x = \frac{{4224}}{{32}}$
𝑥 = 132 cm
आयताकार शीट का परिमाप = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 × (132 + 32)
= 2 × 164
= 328 cm
Q.9 किसी सड़क को समतल एक सड़क रोलर को सड़क ऊपर बार घूमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते है। सड़क रोलर व्यास 84 cm और लम्बाई 1 m है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल : ∵ रोलर का एक चक्कर उसके वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल के बराबर होगा।
रोलर का व्यास = 84 cm
रोलर की त्रिज्या = 42 cm या 0.42 m
रोलर की ऊँचाई = 1 m
रोलर का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = एक चक्कर में तय दूरी = 2πrh
$ = 2 \times \frac{{22}}{7} \times 0.42 \times 1$
= 2 × 22 × 0.06 × 1
= 2.64 m²
∴ 750 चक्कर में तय दूरी = 2.64 × 750
= 1980 m²
Q.10 एक कंपनी अपने दूध पाउडर को ऐसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास 14 cm और ऊँचाई 20 cm है। कंपनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है)। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से 2 cm की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है ?
हल : लेबल का व्यास = 14 cm
लेबल की त्रिज्या = 7 cm
लेबल की ऊँचाई = (20 - 2 - 2) = 16 cm
बेलनाकार लेबल वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πrh
$ = 2 \times \frac{{22}}{7} \times 7 \times 16$
= 2 × 22 × 16
= 704 cm²
प्रश्नावली 11.4
Q.1 आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है, निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति आयतन :
(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।
(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।
(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।
हल : स्थिति (a) में आयतन
स्थिति (b) में क्षेत्रफल
स्थिति (c) में आयतन
Q.2 बेलन A का व्यास 7 cm और ऊँचाई 14 cm है। बेलन B का व्यास 14 cm और ऊँचाई 7 cm है। परिकलन किये बिना क्या आप बता सकते है कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है। दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है। 
हल : बेलन का आयतन = πr²h
बेलन A का व्यास = 7 cm
बेलन A की त्रिज्या = 3.5 cm
बेलन A की ऊँचाई = 14 cm
बेलन A का आयतन = $\frac{{22}}{7} \times {\left( {3.5} \right)^2} \times 14$
= 22 × 3.5 × 3.5 × 2
= 539 cm³
बेलन B का व्यास = 14 cm
बेलन B की त्रिज्या = 7 cm
बेलन B की ऊँचाई = 7 cm
बेलन B का आयतन = $\frac{{22}}{7} \times {\left( {7} \right)^2} \times 7$
= 22 × 7 × 7
= 1078 cm³
बेलन B का आयतन अधिक है।
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
बेलन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times \frac{{22}}{7} \times 3.5 \times \left( {3.5 + 14} \right)$
= 2 × 22 × 0.5 × 17.5
= 385 cm²
बेलन B का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times \frac{{22}}{7} \times 7 \times \left( {7 + 7} \right)$
= 2 × 22 × 14
= 616 cm²
बेलन B का पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।
Q.3 एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल 180 cm² और जिसका आयतन 900 cm3 है ?
हल : आधार का क्षेत्रफल = 180 cm²
लम्बाई × चौड़ाई = 180 cm²
घनाभ का आयतन = 900 cm³
लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 900
180 × ऊँचाई = 900
ऊँचाई = 900 ÷ 180
ऊँचाई = 5 cm
Q.4 एक घनाभ विमाएँ 60 cm × 54 cm × 30 cm है। इस घनाभ के अंदर 6 cm भुजा वाले छोटे घन रखे जा सकते है।
हल : घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 60 × 54 × 30
= 97200 cm³
घन का आयतन = (भुजा)³
= (6)³
= 216 cm³
छोटे घनों की संख्या = घनाभ का आयतन ÷ घन का आयतन
= $ = \frac{{97200}}{{216}}$
= 450
अतः घनाभ के अंदर 450 घन रखे जा सकते है।
Q.5 एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिये किसका आयतन 1.54 m³ और जिसके आधार का व्यास 140 cm है ?
हल : आधार का व्यास = 140 cm
आधार की त्रिज्या = 70 cm या 0.7 m
बेलन का आयतन = 1.54 m³
πr²h = 1.54
$\begin{array}{l}
\frac{{22}}{7} \times {\left( {0.7} \right)^2} \times h = 1.54\\
\frac{{22}}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times h = 1.54
\end{array}$
22 × 0.7 × 0.1 × h = 1.54
1.54h = 1.54
$h = \frac{{1.54}}{{1.54}}$
h = 1 m
बेलन की ऊँचाई 1 मीटर होगी।
Q.6 एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या 1.5 m और लंबाई 7 m है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।
हल : बेलनाकार टैंक की लंबाई (ऊँचाई) = 7 m
बेलनाकार टैंक की त्रिज्या = 1.5 m
बेलनाकार टैंक का आयतन = πr²h
$ = \frac{{22}}{7} \times {\left( {1.5} \right)^2} \times 7$
= 22 × 1.5 × 1.5
= 49.5 m³
∵ 1 m³ = 1000 L
∴ 49.5 m³ = 1000 × 49.5
= 49500 L
Q.7 यदि किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तो
(i) इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी ?
(ii) इसके आयतन कितने गुना वृद्धि होगी ?
हल : (i) मानाकि घन की भुजा = 𝑥
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 (भुजा)²
= 6 × (𝑥)²
= 6𝑥²
किनारे (भुजा) को दुगुना करने पर = 2𝑥
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 (भुजा)²
= 6 × (2𝑥)²
= 6 × 4𝑥
= 24𝑥
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 गुना बढ़ जायेगा।
(ii) मानाकि घन की भुजा = 𝑥
घन का आयतन = (भुजा)³
= (𝑥)³
= 𝑥³
किनारे (भुजा) को दुगुना करने पर = 2𝑥
घन का आयतन = (2𝑥)³
= 8𝑥
अतः घन का आयतन 8 गुना बढ़ जायेगा।
Q.8 एक कुंड के अंदर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन 108 m³ है, तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे ?
हल : घन का आयतन = 108 m³
∵ 1 m³ = 1000 L
∴ 108 m³ = 108 × 1000 = 108000 L
∵ 60 लीटर पानी गिरता है = 1 मिनट में
∴ 108000 लीटर पानी गिरेगा $ = \frac{{108000}}{{60}}$
= 1800 मिनट या $ = \frac{{1800}}{{60}}$
= 30 घंटे
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