कक्षा - 9
विषय - गणित
अध्याय - 7
त्रिभुज
Class - 9
Subject - Math
Chapter - 7
Triangle
प्रश्नावली 7.1
Q.1 चतुर्भुज ABCD में AC = AD है और AB कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 7.16) । दर्शाइए की ∆ABC ≅ ∆ABD । BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते है ?
AC =AD (दिया है)
∠CAB = ∠DAB (भुजा AB कोण A को समद्विभाजित करती है।)
AB =AB (उभयनिष्ठ)
अतः SAS नियम से -
∆ABC ≅ ∆ABD
तथा BC = BD (CPCT नियम से)
Q.2 ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति 7.17) सिद्ध कीजिए कि -
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
हल : (i) ∆ABD व ∆BAD में -
AD = BC (दिया है)
∠DAB = ∠CBA (दिया है)
AB =AB (उभयनिष्ठ)
SAS नियम से -
∆ABD ≅ ∆BAC
(ii) BD = AC (CPCT नियम से)
(iii) ∠ABD = ∠BAC (CPCT नियम से)
Q.3 एक रेखाखण्ड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड है। (देखिए आकृति 7.18) दर्शाइए कि CD, रेखाखण्ड AB को समद्विभाजित करता है।
∠BOC = ∠AOD (एकान्तर कोण के मान बराबर होते है)
∠CBO = ∠DAO (दिया है 90°)
BC = AD (दिया है)
अतः AAS नियम से -
∆BOC = ∆AOD
तथा BO = AO (CPCT नियम से)
Q.4 𝑙 और 𝑚 समान्तर रेखाएँ है, जिन्हे समान्तर रेखाओं 𝑝 और 𝑞 का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति 7.19)। दर्शाइए कि ABC ≅ CDA है।
∠BAC = ∠DCA (अन्तः एकान्तर कोण)
AC =AC (उभयनिष्ठ)
∠BCA = ∠DAC (अन्तः एकान्तर कोण)
ASA नियम से -
∆ABC ≅ ∆CDA
Q.5 रेखा 𝑙 कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा 𝑙 पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब है (देखिए आकृति 7.20)। दर्शाइए कि
(i) ∆APB ≅ ∆AQB
(ii) BP = BQ है, अर्थात बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।
हल : (i) ∆APB व ∆AQB में -
∠APB = ∠AQB (A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब = 90°)
∠PAB = ∠QAB (रेखा 𝑙 कोण A समद्विभाजित करती है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
अतः ASA नियम से -
∆APB ≅ ∆AQB
(ii) BP = BQ (CPCT नियम से)
Q.6 आकृति 7.21 में AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइये की BC = DE है।
हल : ∠BAD = ∠EAC (दिया है)
दोनों और ∠DAC जोड़ने पर -
∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC
∵ ∠BAD + ∠DAC = ∠BAC
व ∠EAC + ∠DAC = ∠DAE
∴ ∠BAC = ∠DAE
∆BAC व ∆DAE में -
AB = AD (दिया है)
∠BAC = ∠DAE (ऊपर सिद्ध किया)
AC = AE (दिया है)
SAS नियम से -
∆BAC ≅ ∆DAE
BC = DE (CPCT नियम से)
Q.7 AB एक रेखाखण्ड है और P इनका मध्य-बिंदु है। D और E रेखाखण्ड AB के एक ही और स्थित दो बिंदु इस प्रकार है, कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है (देखिए आकृति 7.22) दर्शाइए कि
(i) ∆DAP ≅ ∆EBP
(ii) AD = BE
हल : (i) ∠EPA = ∠DPB (दिया है)
दोनों ओर ∠DPE जोड़ने पर -
∠EPA + ∠DPE = ∠DPB + ∠DPE
∵ ∠EPA + ∠DPE = ∠DPA
∴ ∠DPB + ∠DPE = ∠EPB
∆DAP व ∆EBP में -
AP = BP (P, रेखाखण्ड AB का मध्य बिंदु)
∠DPA = ∠EPB (ऊपर सिद्ध किया)
∠BAD = ∠ABE (दिया है)
अतः ASA नियम से -
∆DAP ≅ ∆EBP
(ii) AD = BE (By CPCT)
Q.8 एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमे कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य बिंदु है। C को M से मिलकर डी तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिंदु D को बिंदु B से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति 7.23) दर्शाइए कि
(i) ∆AMC ≅ ∆BMD
(ii) DBC समकोण है
(iii) ∆DBC = ∆ACB
(iv) CM = $CM = \frac{1}{2}AB$
हल : (i) ∆AMC व ∆BMD में
AM = BM (चुकि M, AB रेखाखण्ड का मध्य बिंदु)
∠AMC = ∠BMD (शीर्षाभिमुख कोण)
CM = DM (दिया है)
SAS नियम से -
∆AMC = ∆BMD
AC = BD (By CPCT)
(ii) ∠ACM = ∠BDM (By CPCT)
∠ACM = ∠BDM (अन्तः एकान्तर कोण)
अतः DB।।AC
∠DBC + ∠ACB = 180 (रेखा के एक ओर बनने वाले अन्तः कोणों का योग)
∠DBA + 90 = 180
∠DBC = 180 - 90
∠DBC = 90°
(iii) ∆DBC व ∆ACB में
DB = AC (अभी सिद्ध किया)
∠DBC = ∠ACB (दोनों समकोण)
BC = BC (उभयनिष्ठ)
अतः ∆DBC ≅ ∆ACB
(iv) ∠DBC = ∠ACB
AB = DC
AB = 2CM (By CPCT)
अतः $CM = \frac{1}{2}AB$
प्रश्नावली 7.2
Q.1 एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमे AC = AB है, B और C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है। A को O से जोड़िए। दर्शाइए कि
(i) OB = OC
हल : (i) ∆AOB व ∆AOC में -
AB = AC (दिया है)
∠ABO = ∠ACO (समद्विबाहु त्रिभुज के समान कोणों का अर्धांश)
AO = AO (उभयनिष्ठ)
अतः ASA नियम से -
∆AOB = ∆AOC
OB = OC (By CPCT)
(ii) ∠BAO = ∠CAO (By CPCT)
Q.2 ABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति 7.30)। दर्शाइए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमे AB = AC है।
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∠ADB = ∠ADC (BC पर लम्ब = 90)
BD = CD (दिया है)
अतः SAS नियम से -
∆ADB = ∆ADC
AB = AC (By CPCT)
अतः ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Q.3 ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमश: शीर्षलम्ब BE और CF खींचे गए है (देखिए आकृति 7.31)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर है।
∠EAB = ∠FAC (उभयनिष्ठ कोण)
∠AEB = ∠AFC (शीर्षलम्ब कोण = 90)
AB = AC (दिया है)
अतः AAS नियम से -
∆AEB = ∆AFC
BE = CF (By CPCT)
Q.4 ABC एक त्रिभुज है जिसमे AC और AB पर खींचे गए शीर्षलम्ब BE हुए CF बराबर है (देखिए आकृति 7.32)। दर्शाइए कि
(ii) AB = AC, अर्थात ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल : ∆ABE व ∆ACF में -
∠AEB = ∠AFC (शीर्षलम्ब कोण = 90°)
∠EAB = ∠FAC (उभयनिष्ठ कोण)
BE = CF (दिया है)
अतः AAS नियम से -
∆ABE = ∆ACF
(ii) AB = AC (By CPCT)
Q.5 ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज है (देखिए आकृति 7.33)। दर्शाइए कि ∠ABD = ∠ACD है।
∆ABD व ∆ACD में -
AB = AC (दिया है)
BD = CD (दिया है)
AD = AD (उभयनिष्ठ)
अतः SSS नियम से -
∆ABD = ∆ACD
∠ABD = ∠ACD (By CPCT)
Q.6 ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई कि AD = AB है (देखिए आकृति 7.34)। दर्शाइए की ∠BCD एक समकोण है।
हल : ∆ABC में -
AB = AC (दिया है)
∠ACB = ∠ABC (बराबर सामने के कोण बराबर होते है)
अतः ∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180
∠CAB + 2∠ACB = 180
∠CAB = 180 - 2∠ACB ....................... (i)
इसी प्रकार ∆ACD में -
AD = AB
∠ADC = ∠ACD (बराबर सामने के कोण बराबर होते है)
∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 180°
∠CAD + 2∠ACD = 180°
∠CAD = 180° - 2∠ACD ....................... (ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर -
∠CAB + ∠CAD = 180° - 2∠ACB + 180° - 2∠ACD
(∵ ∠CAB + ∠CAD = 180° रैखिक कोण युग्म)
अतः 180° = 360° - 2∠ACB -2∠ACD
(पक्षान्तरण से)
2∠ACB + 2∠ACD = 360° - 180°
2(∠ACB + ∠ACD) = 180°
(∵ ∠ACB + ∠ACD = ∠BCD)
अतः 2∠BCD = 180°
∠BCD = 180°/2
∠BCD = 90°
Q.7 ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमे ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल : ∠C = 90°
AB = AC (दिया है)
अतः ∠B = ∠C (बराबर भुजाओ के सामने वाले कोण भी बराबर होते है) ............ (i)
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
अतः ∠A + ∠B + ∠C = 180°
2∠A + 90° = 180°
2∠A = 180° - 90°
2∠A = 90°
∠A = 90°/2
∠A = 45°
∠B = A = 45°
Q.8 दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
हल : समान भुजाओ के सामने का कोण भी समान होता है -
अतः माना कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 𝑥 है
त्रिभुज के तीनो कोणों का योग = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 180°
3𝑥 = 180°
𝑥 = 180°/3
𝑥 = 60°
अतः ∠A = ∠B = ∠C = 60°
प्रश्नावली 7.3
Q.1 ∆ABC और ∆DBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार है कि A और D भुजा BC के एक और स्थित है (देखिए आकृति 7.39)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करें, तो दर्शाइये कि
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD
(ii) ABP = ACP
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
हल : (i) ∆ABD व ∆ACD में -
AB = AC (समद्विबाहु त्रिभुज की सामान भुजाएँ)
AD = AD (उभयनिष्ठ)
BD = CD (समद्विबाहु त्रिभुज की सामान भुजाएँ)
अतः SSS नियम से -
∆ABD ≅ ∆ACD
(ii) ∆ABP व ∆ACP में -
AB = AC (समद्विबाहु त्रिभुज की सामान भुजाएँ)
AP = AP (उभयनिष्ठ)
∠PAB = ∠PAC (By CPCT)
अतः SAS नियम से -
∆ABP ≅ ∆ACP
(iii) ∠BAP = ∠CAP (By CPCT)
∆BPD व ∆CPD में -
PD = PD (उभयनिष्ठ)
∠BDP = ∠CDP (कोण D के समद्विभाजक)
BP = CP (By CPCT)
अतः SAS नियम से -
∆BPD ≅ ∆CPD
अतः ∠BDP = ∠CDP (By CPCT)
(iv) ∠BPD = ∠CPD (By CPCT)
BP = CP
∠BPD + ∠CPD = 180°
∵ ∠BPD = ∠CPD
अतः 2∠BPD = 180°
∠BPD = 180°/2
∠BPD = 90°
अतः AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।
Q.2 AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि
(i) AD रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
हल : (i) ∆ABD व ∆ACD में -
∠ADB = ∠ACD (शीर्षलम्ब = 90°)
AB = AC (दिया है)
AD = AD (उभयनिष्ठ)
अतः RHS नियम से -
∆ABD ≅ ∆ACD
BD = CD (By CPCT)
अतः AD, BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) ∠BAD = ∠CAD (By CPCT)
अतः AD, A को समद्विभाजित करता है।
Q.3 एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर है (देखिए आकृति 7.40)। दर्शाइए कि
(i) ABM ≅ PQN
(ii) ABC ≅ PQR
हल - (i) ∆ABM व ∆PQN में -
AB = PQ (दिया है)
BM = QN (दिया है)
QM = PN (दिया है)
अतः SSS नियम से -
∆ABM ≅ ∆PQN
(ii) ∆ABC व ∆PQR में -
AB = PQ (दिया है)
∠ABC = ∠PQR (By CPCT)
BC = QR (दिया है)
अतः SAS नियम से -
∆ABC ≅ ∆PQR
Q.4 BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलम्ब है। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल : ∆BEC व ∆CFB में -
∠BEC = ∠CFB = 90°
BE = CF (दिया है)
BC = BC (उभयनिष्ठ)
अतः RHS नियम से -
∠B = ∠C (By CPCT)
समान कोण के सामने की भुजाएँ भी समान होती है।
अतः ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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