कक्षा - 9
विषय - गणित
अध्याय - 4
दो चर वाले रैखिक समीकरण
Class - 9
Subject - Math
Chapter - 4
प्रश्नावली 4.1
Q.1 एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।
(संकेत :- मान लिजिए, नोटबुक की कीमत x रु. है और कलम की कीमत y रु. है।)
उत्तर - मानाकि नोटबुक की कीमत = x रु.
कलम की कीमत = y रु.
प्रश्नानुसार -
नोटबुक की कीमत = 2 कलम की कीमत
x = 2y
x - 2y = 0
Q.2 निम्नलिखित रैखिक समीकरण को ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान बताइए :
(i) 2x + 3y = 9.35
हल : 2x + 3y = 9.35
(पक्षान्तरण से)
2x + 3y - 9.35 = 0
a = 2, b = 3 और c = -9.35
(ii) $x - \frac{y}{5} - 10 = 0$
हल :
$\begin{array}{l}
x - \frac{y}{5} - 10 = 0\\
x - \frac{1}{5}y - 10 = 0\\
a = 1,b = \frac{{ - 1}}{5},c = - 10
\end{array}$(iii) -2x + 6y = 6
हल : -2x + 6y = 6
(पक्षान्तरण से)
-2x + 6y -6 = 0
a = -2, b = 3, c = -6
(iv) x = 3y
हल : x = 3y
(पक्षान्तरण से)
x -3y + 0 = 0
a = 1, b = 5, c = 0
(v) 2x = -5y
हल : 2x = -5y
(पक्षान्तरण से)
2x + 5y + 0 = 0
a = 2, b = 5, c = 0
(vi) 3x + 2 = 0
हल : 3x + 2 = 0
(पक्षान्तरण से)
3x + 0.y + 2 = 0
a = 3, b = 0, c = 2
(vii) y - 2 = 0
हल : y - 2 = 0
(पक्षान्तरण से)
0.x + 1.y - 2 = 0
a = 0, b = 1, c = -2
(viii) 5 = 2x
हल : 5 = 2x
(पक्षान्तरण से)
2x + 0.y -5 = 0
a = 2, b = 0, c = -5
प्रश्नावली 4.2
Q.1 निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों ?
y = 3x + 5 का
(i) एक अद्वितीय हल है (ii) केवल दो हल है (iii) अपरिमित रूप से अनेक हल है
हल : अपरिमित रूप से अनेक हल है।
y = 3x + 5 एक रैखिक समीकरण है। किसी रेखा पर अपरिमित रूप से अनेक बिंदु होते है एवं प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण का एक हल होता है।
Q.2 निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए :
(i) 2x + y = 7
हल : 2x + y = 7
(पक्षान्तरण से)
y = 7 - 2x
x = 0 रखने पर
y = 7 - 2 × 0
y = 7
अतः समीकरण का पहला हल (0,7) है।
x = 1 रखने पर -
y = 7 - 2 × 1
y = 7 - 2
y = 5
अतः समीकरण का दूसरा हल (1,5) है।
x = 2 रखने पर -
y = 7 - 2 × 2
y = 7 - 4
y = 3
अतः समीकरण का तीसरा हल (2,3) है।
x = 3 रखने पर -
y = 7 - 2 × 3
y = 7 - 6
y = 1
अतः समीकरण का चौथा हल (3,1) है।
अतः (0,7), (1,5), (2,3) और (3,1) समीकरण 2x + y = 7 के हल है।
(ii) πx + y = 9
(पक्षान्तरण से)
y = 9 - πx
x = 1 रखने पर -
y = 9 - π × 1
y = 9 - π
अतः (1,9-π) समीकरण का एक हल है।
x = 2 रखने पर -
y = 9 - π × 2
y = 9 - 2π
अतः (2,9-2π) समीकरण का एक हल है।
x = 3 रखने पर -
y = 9 - π × 3
y = 9 - 3π
अतः (3,9-3π) समीकरण का एक हल है।
x = 4 रखने पर -
y = 9 - π × 4
y = 9 - 4π
अतः (4,9-4π) समीकरण का एक हल है।
अतः (0,9), (1,9-π), (2,9-2π) और (3,9-3π) समीकरण πx + y = 9 के हल है।
(iii) x = 4y
y = 0 रखने पर -
x = 4 × 0
x = 0
अतः (0,0) समीकरण का एक हल है।
y = 1 रखने पर -
x = 4 × 1
x = 4
अतः (4,1) समीकरण का एक हल है।
y = 2 रखने पर -
x = 4 × 2
x = 8
अतः (8,2) समीकरण का एक हल है।
y = 3 रखने पर -
x = 4 × 3
x = 12
अतः (12,4) समीकरण का एक हल है।
अतः (0,0), (4,1), (8,2) और (12,4) समीकरण x = 4y के हल है।
Q.3 बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन x - 2y =4 के हल है और कौन-कौन हल नहीं है।
(i) (0,2)
हल : समीकरण x - 2y = 4 में x = 0 और y = 2 रखने पर -
x - 2y = 4
0 - 2 × 2 = 4
-4 = 4
अतः (0,2) समीकरण का हल नहीं है।
(ii) (2,0)
हल : समीकरण x - 2y = 4 में x = 2 और y = 0 रखने पर -
x - 2y = 4
2 - 2 × 0 = 4
2 - 0 = 4
2 = 4
अतः (2,0) समीकरण का हल नहीं है।
(iii) (4,0)
हल : समीकरण x - 2y = 4 में x = 4 और y = 0 रखने पर -
x - 2y = 4
4 - 2 × 0 = 4
4 - 0 = 4
4 = 4
अतः (4,0) समीकरण का हल नहीं है।
(iv) $\left( {\sqrt 2 ,4\sqrt 2 } \right)$
हल : समीकरण x - 2y = 4 में x = $\sqrt 2 $ और y = $4\sqrt 2 $ रखने पर -
x - 2y = 4
$\begin{array}{l}
\sqrt 2 - 2 \times 4\sqrt 2 = 4\\
\sqrt 2 - 8\sqrt 2 = 4\\
- 7\sqrt 2 = 4
\end{array}$
अतः ($\sqrt 2 $,$4\sqrt 2 $) समीकरण का हल नहीं है।
Q.4 k का मान ज्ञात कीजिए जबकि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो।
हल : समीकरण 2x + 3y = k में x = 2, y = 1 रखने पर -
2 × 2 + 3 × 1 = k
4 + 3 = k
7 = k
k = 7
प्रश्नावली 4.3
Q.1 दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरण में से प्रत्येक का आलेख खींचिए :
(i) x + y = 4
हल : x + y = 4
(पक्षान्तरण से)
y = 4 - x
x = 0 रखने पर -
y = 4 - 0
y = 4
x = 1 रखने पर -
y = 4 - 1
y = 3
अतः समीकरण के हल निम्न है -
|
X |
0 |
1 |
|
Y |
4 |
3 |
(ii) x - y = 2
(पक्षान्तरण से)
y = x - 2
x = 0 रखने पर -
y = 0 - 2
y = -2
x = 1 रखने पर -
y = 1 - 2
y = -1
अतः समीकरण के हल निम्न है -
|
X |
0 |
-2 |
|
Y |
1 |
-1 |
(iii) y = 3x
x = 0 रखने पर -
y = 3 × 0
y = 0
x = 1 रखने पर -
y = 3 × 1
y = 3
अतः समीकरण के हल निम्न है -
|
X |
0 |
1 |
|
Y |
0 |
3 |
(iv) 3 = 2x + y
(पक्षान्तरण से)
y = 3 - 2x
x = 0 रखने पर -
y = 3 - 2 × 0
y = 3 - 0
y = 3
x = 1 रखने पर -
y = 3 - 2 × 1
y = 3 - 2
y = 1
अतः समीकरण के हल निम्न है -
|
X |
0 |
1 |
|
Y |
3 |
1 |
Q.2 बिंदु (2,14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती है और क्यों ?
उत्तर - बिंदु (2,14) से होकर जाने वाली दो रेखाएँ 7x - y = 0 और x + y = 16 है। इस प्रकार अनंत रेखाएँ खींची जा सकती है। क्योकि एक बिंदु से होती हुई अनंत अनेक रेखाएँ खींची जा सकती है।
Q.3 यदि बिंदु (3,4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल : 3y = ax + 7 में x = 3और y = 4 रखने पर -
3 × 4 = a × 3 + 7
12 = 3a + 7
13 - 7 = 3a
a = $\frac{5}{3}$
Q.4 एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है : पहले किलोमीटर का किराया 8 रु. उसके बाद की दुरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रु. है। यदि तय की गई दुरी x किलोमीटर, और कुल किराया y रु. हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।
हल : तय की गई दुरी = x किमी.
कुल किराया = y रु.
कुल किराया = पहले किमी. का किराया + शेष दुरी किराया
प्रश्नानुसार -
y = 8 + 5 × (x - 1)
y = 8 + 5x - 5
y = 5x + 3
आलेख बनाने के लिए
x = 1 रखने पर -
y = 5 × 1 + 3
y = 5 + 3
y = 8
x = 2 रखने पर -
y = 5 × 2 + 3
y = 10 + 3
y = 13
x = 3 रखने पर -
y = 5 × 3 + 3
y = 15 + 3
y = 18
अतः समीकरण के हल निम्नलिखित है -
|
X |
1 |
2 |
3 |
|
Y |
8 |
13 |
18 |
Q.5 निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए :
आकृति 4.6 के लिए और आकृति 4.7 के लिए
(i) y = x (i) y = x + 2
(ii) x + y = 0 (ii) y = x - 2
(iii) y = 2x (iii) y = -x + 2
(iv) 2 + 3 y = 7 (iv) x + 2y = 6
आकृति 4.6 के लिए x + y = 0 सही समीकरण है। यह तीनों बिंदुओं (-1,1), (0,0) और (1,-1) को संतुष्ट करता है।
आकृति 4.7 के लिए y = x + 2 सही समीकरण है। यह तीनों बिंदुओं (-1,3), (0,2) और (2,0) को संतुष्ट करता है।
Q.6 अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय दुरी अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दुरी (i) 2 मात्रक (ii) 0 मात्रक
हल : माना कि किया गया कार्य y तथा पिंड द्वारा तय की गई दुरी x है।
प्रश्नानुसार - अचार बल = 5 मात्रक
पिंड द्वारा किया गया कार्य तय दुरी के अनुक्रमानुपाती है।
अतः y समानुपातिक x
y = kx
k = 5 रखने पर -
y = 5x
अतः y = 5x
आलेख बनाने के लिए -
x = 0 रखने पर -
y = 5 × 0
y = 0
x = 1 रखने पर -
y = 5 × 1
y = 5
x = 2 रखने पर -
y = 5 × 2
y = 10
अतः समीकरण के हल निम्नलिखित है -
|
X |
0 |
1 |
2 |
|
Y |
0 |
5 |
10 |
Q.7 एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएं यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों के लिए प्रधानमंत्री राहतकोष में 100 रु. अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आँकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप उनका अंशदान x और y मान सकते है।)
हल : मानाकि यामिनी का अंशदान x रु. तथा फातिमा का अंशदान y रु. है।
प्रश्नानुसार x + y = 10
y = 100 - x
आलेख बनाने के लिए -
x = 0 रखने पर -
y = 100 - 0
y = 100
x = 10 रखने पर
$\begin{array}{l}
y = \left( {\frac{9}{5}} \right) \times 0 + 32\\
y = 0 + 32\\
y = 32
\end{array}$
y = 100 - 10
y = 90
x = 20 रखने पर
y = 100 - 20
y = 80
अतः समीकरण के हल निम्नलिखित है -
|
X |
0 |
10 |
20 |
|
Y |
100 |
90 |
80 |
Q.8 अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है :
$[F = \left( {\frac{9}{5}} \right)C + 32$
(i) सेल्सियस को x-अक्ष और फारेनहाइट y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए।
हल : प्रश्नानुसार सेल्सियस = x और फारेनहाइट = y लेने पर
रैखिक समीकरण : $y = \left( {\frac{9}{5}} \right)x + 32$
आलेख बनाने के लिए -
x = 0 रखने पर
$\begin{array}{l}
y = \left( {\frac{9}{5}} \right) \times 0 + 32\\
y = 0 + 32\\
y = 32
\end{array}$
x = 10 रखने पर
$\begin{array}{l}
y = \left( {\frac{9}{5}} \right) \times 10 + 32\\
y = 18 + 32\\
y = 50
\end{array}$
x = 20 रखने पर
$\begin{array}{l}
y = \left( {\frac{9}{5}} \right) \times 20 + 32\\
y = 36 + 32\\
y = 68
\end{array}$
अतः समीकरण के हल निम्नलिखित है -
|
X |
0 |
10 |
20 |
|
Y |
32 |
50 |
68 |
(ii) यदि तापमान 30℃ है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा ?
हल : तापमान 30 ℃ है, तो
$\begin{array}{l}
F = \left( {\frac{9}{5}} \right) \times 30 + 32\\
F = 54 + 32\\
F = 86
\end{array}$
अतः फारेनहाइट तापमान ${86^0}F$ होगा।
(iii) यदि तापमान 95°F है, सेल्सियस में तापमान क्या होगा ?
हल : यदि तापमान 95°F हो तो सूत्रानुसार -
$95 = \left( {\frac{9}{5}} \right)C + 32$
(पक्षान्तरण से)
$\begin{array}{l}
95 - 32 = \left( {\frac{9}{5}} \right)C\\
63 \times \frac{5}{9} = C\\
C = 7 \times 5\\
C = 35
\end{array}$
अतः सेल्सियस तापमान 35℃ होगा।
(iv) यदि तापमान 0℃ है, फारेनहाइट में तापमान क्या होगा ? और यदि तापमान 0℃ है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा ?
हल : यदि तापमान 0℃ है, तो
$\begin{array}{l}
F = \left( {\frac{9}{5}} \right) \times 0 + 32\\
F = 0 + 32\\
F = 32
\end{array}$
अतः यदि तापमान 0℃ है, तो फारेनहाइट तापमान = 32°F
यदि तापमान 0°F है, तो -
$0 = \left( {\frac{9}{5}} \right)C + 32$
(पक्षान्तरण से)
$\begin{array}{l}
- 32 = \left( {\frac{9}{5}} \right)C\\
C = - 32 \times \frac{5}{9}\\
C = \frac{{ - 160}}{9}\\
C = - 17.8
\end{array}$
और यदि तापमान 0°F है, तो सेल्सियस = -17.8℃
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है, जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मक मान सामान है ? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
हल : माना तापमान x है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मक है।
अतः $x = \left( {\frac{9}{5}} \right)x + 32$
(पक्षान्तरण से)
$\begin{array}{l}
x - 32 = \left( {\frac{9}{5}} \right)x\\
\left( {x - 32} \right) \times 5 = 9x\\
5x - 160 = 9x\\
4x = - 160\\
x = \frac{{ - 160}}{4}\\
x = - 40
\end{array}$
अतः जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मक समान तापमान = -40 है।
प्रश्नावली 4.4
Q.1 (i) एक चर वाले (ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
हल : (i) एक चर वाले
एक चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 प्राप्त करने के लिए संख्या रेखा का उपयोग करेंगे।
(ii) दो चर वाले
दो वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण करने के लिए समीकरण :
0.x + y = 3
(पक्षान्तरण से)
y = 3 - 0.x
x = 1 रखने पर -
y = 3 - 0 × 1
y = 3 - 0
y = 3
x = 2 रखने पर -
y = 3 - 0.2
y = 3 - 0
y = 3
अतः समीकरण के निम्नलिखित हल होंगे -
|
X |
1 |
2 |
|
Y |
3 |
3 |
समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
हल : (i) एक चर वाले
एक चर वाले समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 निरूपण करने के लिए संख्या रेखा का उपयोग करेंगे।
2x + 9 = 0
(पक्षान्तरण से)
2x = - 9
$x = \frac{{ - 9}}{2}$
(ii) दो चरों वाले -
दो चरों वाले समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण करने हेतु समीकरण :
2x + 0.y = -9
(पक्षान्तरण से)
$x = \frac{{ - 9 - 0.y}}{2}$
y = 1 रखने पर -
$\begin{array}{l}
x = \frac{{ - 9 - 0 \times 1}}{2}\\
x = \frac{{ - 9}}{2}
\end{array}$
y = 2 रखने पर -
$\begin{array}{l}
x = \frac{{ - 9 - 0 \times 2}}{2}\\
x = \frac{{ - 9}}{2}
\end{array}$
अतः $A\left( {\frac{{ - 9}}{2},1} \right)$ और $A\left( {\frac{{ - 9}}{2},2} \right)$
समीकरण 2x + 9 = 0 के हल है।
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